No Image

Что такое дифференциал матанализ

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Наряду с производными функций их дифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы — это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 — Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y1, а затем y = y2, то разность y2 ─ y1 называется приращением величины y.

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемым dy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы – это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f’ (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM’ (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM’. Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f ‘(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Читайте также:  Шнур для зарядки микро usb

Вторая часть NM’дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM’ уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f ‘(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM’и QN эквивалентны; иными словами NM’ уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM’. Это видно на рисунке (с приближением M’к М отрезок NM’составляет все меньший процент отрезка QM’).

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f ‘(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение — dy = f ‘(x)Δх, или же df (x) = f ‘(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f ‘(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f ‘(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f ‘(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f ‘(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Далее следует (t +Δt) 2 = t 2 + 2tΔt + Δt 2 . Отсюда Δх = 2tΔt + Δt 2 . Значит: 2xΔх = 2t 2 (2tΔt + Δt 2 ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f ‘(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f ‘(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3 ). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3 ).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3 ) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3 ) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f ‘(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

Читайте также:  Телефон сел и не включается что делать

f(a + Δх) ≈ f ‘(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f ‘(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f ‘(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции (Delta y) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной ( = 1 , ext<м>,) (рисунок (1)). Его площадь, очевидно, равна [ = x_0^2 = 1 , ext<м>^2.] Если сторону квадрата увеличить на (Delta x = 1, ext<см>,) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять [S = = <left( <+ Delta x>
ight)^2> = 1, <01^2>= 1,0201 , ext<м>^2,] т.е. приращение площади (Delta S) равно [ <Delta S = S — = 1,0201 — 1 = 0,0201, ext<м>^2 > = <201, ext<см>^2.> ] Представим теперь это приращение (Delta S) в таком виде: [
equire <Delta S = S —
= <left( <
+ Delta x>
ight)^2> — x_0^2 > = <cancel+ 2
Delta x + <left( <Delta x>
ight)^2> — cancel > = <2
Delta x + <left( <Delta x>
ight)^2> > =
ight) > =
ight).> ] Итак, приращение функции (Delta S) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна (Delta x) и равна [dy = ADelta x = 2
Delta x = 2 cdot 1 cdot 0,01 = 0,02 , ext<м>^2 = 200, ext<см>^2,] и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного [omicronleft( <Delta x>
ight) = <left( <Delta x>
ight)^2> = <0,01^2>= 0,0001, ext<м>^2 = 1, ext<см>^2.] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное (200 + 1 = 201, ext<см>^2.)

Заметим, что в данном примере коэффициент (A) равен значению производной функции (S) в точке (🙂 [A = 2.] Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент (A) главной части приращения функции в точке () равен значению производной (f’left( <>
ight)) в этой точке, т.е. приращение (Delta y) выражается формулой [ <Delta y = ADelta x + omicronleft( <Delta x>
ight) > =
>
ight) + frac <<omicronleft( <Delta x>
ight)>><<Delta x>>.> ] В пределе при (Delta x o 0) получаем значение производной в точке (
🙂 [ >
ight).> ] Здесь мы учли, что для малой величины (omicronleft( <Delta x>
ight)) более высокого порядка малости, чем (Delta x,) предел равен [limlimits_ <Delta x o 0>frac <<omicronleft( <Delta x>
ight)>><<Delta x>> = 0.] Если считать, что дифференциал независимой переменной (dx) равен ее приращению (Delta x:) [dx = Delta x,] то из соотношения [dy = ADelta x = y’dx] следует, что [y’ = frac<><>,] т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

На рисунке (2) схематически показана разбивка приращения функции (Delta y) на главную часть (ADelta x) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости (omicronleft( <Delta x>
ight)).

Читайте также:  Увеличение скорости кулера на процессоре

Касательная (MN), проведенная к кривой функции (y = fleft( x
ight)) в точке (M), как известно, имеет угол наклона (alpha), тангенс которого равен производной: [ an alpha = f’left( <>
ight).] При изменении аргумента на (Delta x) касательная получает приращение (ADelta x.) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (Delta y) (отрезок (N)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно (Delta x).

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике "Дифференциал и его применение" обучающимся техникума была поставлена цель изучить дифференциалы и его приложения. Автор дает определение дифференциалу, описывает свойства дифференциала и области его использования, объясняет, как решать задачи с дифференциалами.

Подробнее о проекте:

В готовом исследовательском проекте по математике "Дифференциал и его применение" автор рассматривает одно наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. В работе изучены: дифференциал функции, приближенные вычисления с применением дифференциала, приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной, абсолютная и относительная погрешность вычислений. Дана оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала и рассмотрены разные формы записи дифференциала.

Оглавление

Введение
1. Возникновение понятия дифференциала.
2. Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
3. Современное определение.
4. Механическое истолкование.
5. Производная и дифференциал.
6. Геометрическая интерпретация.
7. Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал?
8. Замена приращений дифференциалами.
9. Дифференциал функции. Примеры.
10. Приближенные вычисления с применением дифференциала.
11. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.
12. Абсолютная и относительная погрешность вычислений.
13. Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала.
14. Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?
15. О разных формах записи дифференциала.
Заключение
Литература

Введение

В проекте рассматриваются понятия дифференциалов и их применение в различных областях науки. В практической части проекта представлены задачи различного содержания (экономического, химического и т.д.).

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека. В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени.

Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований.

В рамках данного проекта мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.

Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени.

Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени.

Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона.

Цель проекта: изучить дифференциалы и его приложения.

  • Научиться решать задачи с дифференциалами;
  • Узнать о приложениях дифференциалов;
  • Выяснить область применения дифференциалов

Основополагающий вопрос: Что такое дифференциалы и их приложения?

  • Что такое дифференциал?
  • Какие свойства у дифференциала?
  • Как решать задачи с дифференциалами?
  • Где используют дифференциалы?
Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector