No Image

Что такое полный квадрат в математике

СОДЕРЖАНИЕ
3 просмотров
22 января 2020

Полный квадрат, или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Содержание

Примеры [ править | править код ]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Таблица квадратов

_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_ 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Представления и свойства [ править | править код ]

Квадрат натурального числа n <displaystyle n> можно представить в виде суммы первых n <displaystyle n> нечётных чисел:

1: 1 = 1 <displaystyle 1=1>
2: 4 = 1 + 3 <displaystyle 4=1+3>
.
7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 <displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13>
.

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + . . . + ( n − 1 ) + ( n − 1 ) + n <displaystyle n^<2>=1+1+2+2+. +(n-1)+(n-1)+n>
Пример:

1: 1 = 1 <displaystyle 1=1>
2: 4 = 1 + 1 + 2 <displaystyle 4=1+1+2>
.
4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 <displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4>
.

Сумма квадратов первых n <displaystyle n> натуральных чисел вычисляется по формуле [1] :

∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^k^<2>=1^<2>+2^<2>+3^<2>+. +n^<2>=<frac <6>>>

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n + 1 <displaystyle n+1> :
∑ k = 1 n k 3 + ( n + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = ∑ k = 0 n k 3 + ∑ k = 0 n 3 k 2 + ∑ k = 0 n 3 k + ∑ k = 0 n 1 = ∑ k = 0 n k 3 + 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 <displaystyle sum _^k^<3>+(n+1)^<3>=sum _^(k+1)^<3>=sum _^(k^<3>+3k^<2>+3k+1)=sum _^k^<3>+sum _^3k^<2>+sum _^3k+sum _^1=sum _^k^<3>+3sum _^k^<2>+3sum _^k+sum _^1>
Получим:
( n + 1 ) 3 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ( n + 1 ) n 2 + ( n + 1 ) <displaystyle (n+1)^<3>=3sum _^
k^<2>+3sum _^k+sum _^1=3sum _^k^<2>+3<frac <(n+1)n><2>>+(n+1)>
Умножим на 2 и перегруппируем:
6 ∑ k = 0 n k 2 = 2 ( n + 1 ) 3 − 3 ( n + 1 ) n − 2 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( 2 ( n + 1 ) 2 − 3 n − 2 ) = ( n + 1 ) ( 2 n 2 + n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) <displaystyle 6sum _^
k^<2>=2(n+1)^<3>-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^<2>-3n-2)=(n+1)(2n^<2>+n)=n(n+1)(2n+1)>
∑ k = 0 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^
k^<2>=<frac <6>>> (В рассуждениях использована формула: ∑ k = 0 n k = ( n + 1 ) n 2 <displaystyle sum _^k=<frac <(n+1)n><2>>> , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени N <displaystyle N> может быть выражена как функция N + 1 <displaystyle N+1> степени. Исходя из этого факта предположим:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = A n 3 + B n 2 + C n + D <displaystyle sum _^k^<2>=f(n)=An^<3>+Bn^<2>+Cn+D>
f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 1 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( 3 ) = 14 <displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14>
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
< 0 A + 0 B + 0 C + D = 0 A + B + C + D = 1 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 27 A + 9 B + 3 C + D = 14 <displaystyle <egin0A+0B+0C+D=0\A+B+C+D=1\8A+4B+2C+D=5\27A+9B+3C+D=14\end>> Решив её, получим A = 1 3 , B = 1 2 , C = 1 6 , D = 0 <displaystyle A=<frac <1><3>>,B=<frac <1><2>>,C=<frac <1><6>>,D=0>
Таким образом:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n + 0 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^
k^<2>=f(n)=<frac <1><3>>n^<3>+<frac <1><2>>n^<2>+<frac <1><6>>n+0=<frac <6>>>

Читайте также:  Что написать на визитке

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 + ⋯ = π 2 6 <displaystyle sum _^<infty ><frac <1><2>>>=<frac <1><1^<2>>>+<frac <1><2^<2>>>+dots +<frac <1><2>>>+dots =<frac <pi ^<2>><6>>>

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. [3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

  • Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.

Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).

Связанные понятия

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным.

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В теории чисел гладким числом называется целое число, все простые делители которого малы.

Однако не все его знают. В результате этого объем вычислений увеличивается, а также допускаются ошибки. Он также применяется для нахождения корней уравнений и построения графиков.

Общая информация

Выделить полный квадрат из многочлена второй степени означает, что его следует привести к более читабельной формуле. Эта операция применяется в следующих случаях: интегрирование, дифференцирование, построение графиков и решение уравнений (чаще — в последних двух).

За основу взяты три формулы сокращенного умножения (разложение квадратного многочлена на множители), которые специалисты рекомендуют запомнить или выписать отдельно.

К ним относятся следующие соотношения:

  1. Квадрат суммы: (y + z)^2 = y 2 + 2yz + z 2 .
  2. Квадрат разности: (y — z)^2 = y 2 — 2yz + z 2 .
  3. Разность квадратов: y 2 — z 2 = (y — z)(y + z).

Существует правило, позволяющее выполнить операцию упрощения многочлена ay 2 + by + c второй степени путем разложения его на множители. Это означает, что его следует свести (преобразовать) к виду a * (y — y0)^2 + y0.

Универсальный алгоритм

Алгоритмом называется комплексное решение, состоящее из последовательного набора правил. Преобразование ay 2 + by + c осуществляется следующим образом:

  1. Привести к такому виду первое слагаемое на основании формулы (y + z)^2 = y 2 + 2yz + z 2 : [(a)^(½) * y]^2. Корень из коэффициента «а» следует указывать обязательно.
  2. Второе слагаемое должно состоять из удвоенного произведения: by = [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)].
  3. Третий свободный член находится по формуле z = (b / [2 * (a)^(½)].
  4. Для равновесия следует отнять число, полученное в пункте 3.
  5. Записать результат нужно таким образом: [(a)^(½) * y]^2 + [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c.

Для квадрата разности алгоритм похожий. Формула выделения полного квадрата имеет такой вид: [(a)^(½) * y]^2 — [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c. Соотношение также применяется математиками в алгебре, а также в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Для этого нужно воспользоваться таким подробным объяснением правил решения:

Читайте также:  Что делать если блок питания шумит

  1. Запись формулы: ay 2 — c = ((a)^(½) * y — (c)^(½))((a)^(½) * y + (c)^(½)).
  2. Коэффициент «с^(½)» должен быть равен целому числу.
  3. Если условие во втором пункте не выполняется, то следует воспользоваться таким соотношением: с + a — a= с1 — a.
  4. Записать выражение в таком виде: ay 2 — c + a — a = ((a)^(½) * y — (c1)^(½))((a)^(½) * y + (c1)^(½)) — a.

Число «а» может быть положительным или отрицательным. Если его прибавить к «с», то должно получиться значение «с1».

При извлечении квадратного корня результат должен быть целым. Чтобы равенство не нарушалось, следует прибавить и отнять «а».

Алгоритм записан в общем виде. В теории он является сложным для понимания.

Однако при практическом применении некоторые неясности исчезают. Для начала нужно разобрать, где его нужно применять.

Сферы использования

Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.

Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.

Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.

Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:

  • построение графиков квадратичной функции;
  • решение уравнений;
  • упрощение выражений.

Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.

Построение графиков

Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:

  1. Коэффициенты «а» и «с» — некоторые числа. Последнее вычисляется по такой формуле: с = b / 2a.
  2. Константа «d» является свободным членом.

Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:

    Направление ветвей: вверх (a > 0) и вниз (a 0), по ОУ в отрицательном направлении (c 2 + bz + с = 0 означает найти все его корни или доказать, что их нет. Его можно решать несколькими методами: нахождение дискриминанта, использование теоремы Виета или представление в виде квадрата.

При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:

  1. Упростить выражение (выведение общего множителя, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых).
  2. Вычисление дискриминанта: D = (-b)^2 — 4ac.
  3. Разобрать частные случаи, и выбрать ход решения, который зависит от значения D: при D > 0 решением уравнения являются два значения или корня (z1 = -b — D^(½) / 2a и z2 = -b + D^(½) / 2a; D = 0 — один корень (z = -b / 2a) и D 2 + c = 0), то дискриминант можно не высчитывать. Решение находится следующим образом:
  1. Нужно перенести свободный член «с» в правую сторону. Если с 0, необходимо перейти ко второму шагу решения.
  2. Разделить обе части на «а».
  3. Вычислить корни по формулам (будут одинаковыми числами, но с разными знаками): z1 = -[c/a]^(½) z2 = [c/a]^(½).
Читайте также:  Фильм про убийцу с раздвоением личности

Когда коэффициент с = 0 (az 2 + bz = 0), то решить уравнение очень просто.

Для этого нужно произвести такие действия:

  1. Сократить обе части на «a».
  2. Вынести за скобку общий множитель: z (z + b/a) = 0.
  3. Решить два уравнения: z1 = 0 и z2 + b/a = 0.
  4. Проверить корни, подставив в исходное тождество.

Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.

Упрощение выражений

Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z 2 — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.

В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.

Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z 2 + 4z + 16 + z 2 — 16. Его можно просто упростить: z 2 + 8z + 16 + z 2 — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).

Пример решения

Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:

  1. Упростить выражение: z^2 + 20z + 50 — 6z — 5 = z^2 + 14z + 45.
  2. Вычислить дискриминант: D = 14^2 — 4 * 1 * 45 = 196 — 180 = 16 = 4^2.
  3. Осуществить анализ второго пункта: если D = 16 > 0, то значит у уравнения два корня.
  4. Первый корень: z1 = (-14 — 4) / 2 = -9.
  5. Второе решение: z2 = (-14 + 4) / 2 = -5.
  6. Проверка: (-9)^2 + (-9) * 14 + 45 = 81 — 126 + 45 = 0 и (-5)^2 + (-5) * 14 + 45 = 25 — 70 + 45 = 0.

Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.

Второй метод заключается в использовании теоремы Виета. Произвести поиск корней довольно просто, поскольку а = 1. Воспользовавшись формулами z1 + z2 = — 14 и z1 * z2 = 45, можно подобрать корни: z1 = -9 и z2 = -5.

Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:

  1. Разложить на множители (формула квадрат суммы): z^2 + 14z + 45 = z^2 + 14z + 45 + 4 — 4 = (z^2 + 14z + 49) — 4 = (z + 7)^2 — 4.
  2. Использовать формулу разности квадратов двух чисел: (z + 7)^2 — 4 = (z + 7 — 2)(z + 7 — 2) = (z + 5)(z + 9).
  3. Записать в виде уравнений: (z + 5) = 0 и (z + 9) = 0.
  4. Корни: z1 = -5 и z2 = -9.

Использование графического метода позволит получить точные значения, поскольку во всех предыдущих способах они являются целыми числами. Необходимо записать уравнения параболы (можно воспользоваться вторым пунктом алгоритма третьего метода): (z + 7)^2 — 4. Анализ перед построением выглядит таким образом:

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector