No Image

Что такое решение дифференциального уравнения

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Определение дифференциальных уравнений (ДУ)

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

  • явную зависимость функции от переменной; Решение дифференциального уравнения – это функция y = u ( x ) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
  • неявную зависимость в виде уравнения типа Φ ( x, y ) = 0 или системы уравнений; Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
  • зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них; Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
  • решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C1, C2, C3, . Cn . Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида , зависящее от n произвольных постоянных.
Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид .
Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, . , Cn .
Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, . , Cn .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-07-2012 Изменено: 18-02-2015

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением:

. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, — производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Читайте также:  Струйный принтер объем встроенной памяти

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

, (4)

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как , то уравнение (3) можно записать в виде или , где можно считать и . Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде . Тогда , , , где можно считать , т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция , которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или .

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде , то оно называется интегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида , зависящее от произвольной постоянной С, каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С, включая .

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши. Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение , в котором функция принимает заданное числовое значение , если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т.е.

, , (5)

где D – область определения функции .

Значение называется начальным значением функции, а начальным значением независимой переменной. Условие (5) называется начальным условием или условием Коши.

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку .

Читайте также:  Стратегии 2000 2005 года список

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Читайте также:  Требуются права локального администратора

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция ("яблоко" — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень "одна вторая", а "фарш" — самое выражение под корнем):

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector