No Image

Является ли функция аналитической

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Рассмотрим условия дифференцируемости функции

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке функции и дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место условия:

Эти условия называются условиями Д’ Аламбера-Эйлера или Коши-Римана – условия дифференцируемости функции .

Доказательство. Докажем необходимость условий (2.31). Пусть дифференцируемая в точке z; тогда функция имеет в точке z производную. Следовательно, существует

и этот предел не зависит от закона стремления . А при , т.е. точки к точке z по прямой параллельно оси Ох (рис. 2.12), получим:

Если идти по пути прямой, параллельной мнимой оси от ( , х – фиксировано, а ) (рис. 2.12 б), получим:

Так как предел единственный, а функция однозначная, то (2.32) и (2.33) дают:

Достаточность имеет место. Приведем схему доказательства этого. Дано, что и – дифференцируемые, т.е. имеют полные дифференциалы, а значит, имеют место условия дифференцируемости функций двух независимых переменных

где при для имеем:

Подставляя значения и из (2.34) в (2.35) и, заменяя равными им значениями частных производных по переменной х, исходя из условий (2.31), в пределе получим:

Тем самым достаточность условий (2.31) доказана.

Вывод: производную от функции при выполнении условий (2.31) можно находить по одной из формул (2.32) или (2.33), не прибегая к таблице производных.

Например, для по таблице производных .

Проверяем условия (2.31.): – условия дифференцируемости выполнены для любого z. Применяя формулу (2.32), получим:

Если однозначная функция дифференцируема не только в точке, но и в некоторой окрестности ее, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области (регулярной) или голоморфной (т.е. имеющая форму целой функции). Поэтому ТФКП часто называется теорией аналитических функций.

Точки плоскости z, в которых является аналитической – называются правильными точками однозначной функции, а те, в которых f(z) не является аналитической – называется особыми точками (и в частности, в которых не определена). Условия (2.31) являются условиями аналитичности функции в области.

Выяснить, является ли аналитической.

Решение. Решая предыдущий пример мы проверили условия (2.31) и убедились, что они имеют место для любого z плоскости хОу. Следовательно, функция является аналитической (регулярной) во всей плоскости.

Выяснить, является ли регулярной функция .

Решение. , то , отсюда – условия (2.31) не выполняются нигде в плоскости z. Значит, не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условие (2.31) выполнено только для х = 0 и у = 0. Следовательно, дифференцируема только в одной точке и нигде не является аналитической.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условия (2.31) выполняются только в точке х = 0, у = 0, т.е. – единственная точка, где функция дифференцируемая и нигде не является регулярной.

Используя условия (2.31), доказать аналитичность функции на всей плоскости, получить формулу .

Ясно, что эти функции дифференцируемы при всех х и у. Условия (2.31): – выполняются. Следовательно, дифференцируемая в любой точке z, т.е. аналитическая на всей комплексной плоскости. По формуле (2.32):

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

  • В книжной версии

    Том 1. Москва, 2005, стр. 658

    Скопировать библиографическую ссылку:

    АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, ко­то­рая мо­жет быть пред­став­ле­на сте­пен­ны­ми ря­да­ми. Ис­клю­чи­тель­ная важ­ность клас­са А. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим. Во-пер­вых, этот класс дос­та­точ­но ши­рок: он ох­ва­ты­ва­ет боль­шин­ст­во функ­ций, встре­чаю­щих­ся в осн. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ни­ях в ес­те­ст­во­зна­нии и тех­ни­ке. Ана­ли­ти­че­ски­ми яв­ля­ют­ся эле­мен­тар­ные функ­ции – мно­го­чле­ны, ра­цио­наль­ные функ­ции, по­ка­за­тель­ные и ло­га­риф­ми­че­ские, сте­пен­ные, три­го­но­мет­ри­че­ские и об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские, ги­пер­бо­ли­че­ские и об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции, а так­же ал­геб­раи­че­ские функ­ции и спе­ци­аль­ные функ­ции (эл­лип­ти­че­ские, ци­лин­д­ри­че­ские и др.). Во-вто­рых, класс А. ф. замк­нут от­но­си­тель­но осн. опе­ра­ций ариф­ме­ти­ки, ал­геб­ры и ана­ли­за: при­ме­не­ние ариф­ме­тич. дей­ст­вий к функ­ци­ям это­го клас­са, ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ний с ана­ли­тич. ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние и ин­тег­ри­ро­ва­ние А. ф. сно­ва при­во­дят к А. ф. На­ко­нец, А. ф. об­ла­да­ют свой­ст­вом един­ст­вен­но­сти: ка­ж­дая А. ф. об­ра­зу­ет «ор­га­ни­че­ски свя­зан­ное це­лое», пред­став­ля­ет со­бой «еди­ную» функ­цию во всей сво­ей ес­те­ст­вен­ной об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ния. Это свой­ст­во, ко­то­рое в 19 в. счи­та­лось не­от­де­ли­мым от са­мо­го по­ня­тия функ­ции , при­об­ре­ло прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние по­сле то­го, как в 19 в. ус­та­но­ви­лась об­щая точ­ка зре­ния на функ­цию как на про­из­воль­ное со­от­вет­ст­вие.

    Читайте также:  1С бухгалтерия проверка контрагентов

    В математике , аналитическая функция является функцией , локально задаются сходящимся степенным рядом . Там существуют как вещественные аналитические функции и сложные аналитические функции , категории, которые похожи в некоторых отношениях, но отличается в других. Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы , но свойства комплексных аналитических функции демонстрируют , что не держу вообще для реальных аналитических функций. Функция является аналитической тогда и только тогда , когда ее ряд Тейлора о й сходится к функции в некоторых окрестностях для каждого х в домене .

    содержание

    Определения

    Формально функция является вещественно — аналитическая на открытом множестве в прямой , если для любого можно написать е < Displaystyle е> D < Displaystyle D> Икс 0 ∈ D < Displaystyle X_ <0> в D>

    е ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ a N ( Икс — Икс 0 ) N знак равно a 0 + a 1 ( Икс — Икс 0 ) + a 2 ( Икс — Икс 0 ) 2 + a 3 ( Икс — Икс 0 ) 3 + ⋯ < Displaystyle F (X) = сумма _ ^ < infty>A_ влево (х-X_ <0> вправо) ^ = а_ <0>+ а_ <1 >(х-X_ <0>) + а_ <2>(х-X_ <0>) ^ <2>+ а_ <3>(х-X_ <0>) ^ <3>+ cdots>

    в котором коэффициенты являются действительными числами и ряд является сходящимся к для в окрестностях . a 0 , a 1 , . < Displaystyle a_ <0>, a_ <1>, точки> е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>

    В качестве альтернативы, аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой функцией такой , что ряд Тейлора в любой точке в своей области Икс 0 < Displaystyle X_ <0>>

    T ( Икс ) знак равно Σ N знак равно 0 ∞ е ( N ) ( Икс 0 ) N ! ( Икс — Икс 0 ) N < Displaystyle Т (х) = сумма _ <п = 0>^ < infty> < гидроразрыва <е ^ <(п)>(X_ <0>)> <п!>> (Х-X_ <0 >) ^ <п>>

    сходится к для в окрестности точечно . Множество всех вещественных аналитических функций на заданном множестве часто обозначается . е ( Икс ) < Displaystyle F (X)> Икс < Displaystyle х> Икс 0 < Displaystyle X_ <0>> D < Displaystyle D> С ω ( D ) < Displaystyle С ^ <, Omega>(D)>

    Функция , определенная на некотором подмножестве вещественной прямой, называется вещественно — аналитической в точке , если существует окрестность о , на котором реально аналитическим. е < Displaystyle е> Икс < Displaystyle х> D < Displaystyle D> Икс < Displaystyle х> е < Displaystyle е>

    Определение комплексной аналитической функции получается путем замены, в определениях выше, «реальный» с «комплексом» и «реальная линия» с «комплексной плоскостью». Функция является сложным аналитическим , если и только если она голоморфна т.е. комплекс дифференцируема. По этой причине термин «-голоморфные» и «аналитические» часто используются как взаимозаменяемые для таких функций.

    Примеры

    Типичные примеры аналитических функций:

    • Все элементарные функции :
    • Все многочлены : если многочлен имеет степень п , любые условия степени больше , чем п в ее разложения в ряд Тейлора должны немедленно исчезнуть в 0, и поэтому эта серия будет тривиально сходится. Кроме того, каждый многочлен является его собственный ряд Маклорена .
    • Экспоненциальная функция является аналитической. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только для й достаточно близко к й (как в определении) , но и для всех значений х (вещественного или комплексного).
    • В тригонометрические функции , логарифм , и степенные функции являются аналитическими на любом открытом множестве их домена.
  • Большинство специальных функций (по крайней мере , в некотором диапазоне комплексной плоскости):
    • гипергеометрические функции
      • функции Бесселя
      • гамма-функция
      • Типичные примеры функций, которые не являются аналитическими являются:

        • Абсолютное значение функции , когда определено на множестве действительных чисел или комплексных чисел не везде аналитическая , потому что она не дифференцируема в 0. Кусочно определены функции (функции , предоставляемые различными формулами в разных регионах) , как правило , не аналитическая , где штук встретиться.
        • Комплексен сопряженная функция гг * не является сложным аналитическим, хотя его ограничением на реальную линию является функцией идентичности и , следовательно , вещественными аналитической, и это вещественный аналитическим как функция от до . р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>р 2 < Displaystyle mathbb ^ <2>>
        • Другие неаналитические гладкие функции .

        Альтернативные характеризации

        Следующие условия эквивалентны:

        1. ƒ является реальным аналитическим.

        2. Существует комплексное аналитическое расширение ƒ на открытое множество GC , который содержит D .

        3. ƒ является реальным гладким и для любого компакта KD существует константа C такой , что для любых хK и каждое неотрицательное целое число K справедлива оценка

        | d К е d Икс К ( Икс ) | ≤ С К + 1 К ! < Displaystyle левая | < гидроразрыва е> <дх ^ <к>>> (х) право | Leq C ^ <к + 1>K!>

        Сложные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфных функций , и, таким образом , гораздо легче охарактеризовать.

        Для случая аналитической функции с несколькими переменными (см ниже), реальная аналитичность можно охарактеризовать с помощью преобразования Фурье-Bros-Iagolnitzer . Третья характеристика имеет также прямое обобщение на многомерный случай.

        Свойства аналитических функций

        • Суммы, продукты и композиция аналитических функций являются аналитическими.
        • Обратной аналитической функции, которая нигде не равна нулю , аналитическая, как это имеет место обратное обратимой аналитической функции которого производная нигде нулю. (Смотрите также теорему обращения Лагранжа .)
        • Любая аналитическая функция гладкая , то есть бесконечно дифференцируемы. Обратное не верно для действительных функций; на самом деле, в некотором смысле, реальные аналитические функции немногочисленны по сравнению со всеми реальной бесконечно дифференцируемых функций. Для комплексных чисел, обратное не имеет места, а на самом деле любая функция дифференцируема один раз на открытом множестве аналитична на этом множестве (см «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
        • Для любого открытого множества Ω ⊆ C , множество (Ω) всех аналитических функций у : Ω → C является пространством Фреше относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт , что равномерные пределы на компактных множествах аналитических функций , аналитические является простым следствием теоремы Мореров . Множество всех ограниченных аналитических функций с нормой супремума является банахово пространство . A ∞ ( Ω ) < Displaystyle scriptstyle A _ < infty>( Omega)>

        Полином не может быть равен нулю при слишком много точек , если она не является нулевой многочлен (точнее, число нулей в большинстве степень многочлена). Аналогичное , но более слабое утверждение справедливо и для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции ƒ имеет точку сгущения внутри своей области , то ƒ равна нулю всюду на компоненте связности , содержащей точку. Другими словами, если ( г п ) представляет собой последовательность различных чисел таким образом, что ƒ ( г п ) = 0 для всех п , и эта последовательность сходится к точке г в области D , то ƒ тождественно нулю на компоненте связности из D , содержащий г . Это известно как принцип постоянства .

        Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, то функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

        Из этих утверждений следуют , что в то время как аналитические функции имеют больше степеней свободы , чем полиномы, они все еще довольно жесткие.

        Аналитичность и дифференцируемость

        Как было отмечено выше, любая аналитическая функция (вещественная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известный как гладкие или C ∞ ). (Обратите внимание , что эта дифференцируемость в смысле действительных переменных, сравнить сложные производные ниже) . Там существует гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими: см неаналитический гладкой функции . На самом деле есть много таких функций.

        Ситуация совершенно иная , если учесть сложные аналитические функции и сложные производные. Можно доказать , что любая сложная функция дифференцируема (в комплексном смысле) в открытом множестве является аналитической . Следовательно, в комплексном анализе термин аналитическая функция является синонимом голоморфной функции .

        Real против комплексных аналитических функций

        Действительные и комплексные аналитические функции имеют существенные различия (можно заметить, что даже от их различных отношений с дифференцируемостью). Аналитичность сложных функций является более ограничительным свойством, поскольку оно имеет более жесткие необходимые условия и сложные аналитические функции имеют больше структуры, чем их реальные аналоги линии.

        Согласно теореме Лиувилля , любая ограниченная комплексная аналитическая функция , определенная на всей комплексной плоскости постоянна. Соответствующее заявление для вещественных аналитических функций, с комплексной плоскости заменены на вещественной прямой, очевидно , ложно; это иллюстрируется

        е ( Икс ) знак равно 1 Икс 2 + 1 , < Displaystyle F (X) = < гидроразрыва <1> <х ^ <2>+1>>.>

        Кроме того , если комплексная аналитическая функция определена в открытом шаре вокруг точки х , ее разложение в степенной ряд по х сходится во всем открытом шаре ( голоморфные функции являются аналитическими ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (с открытым шаром означает открытый интервал вещественной прямой , а не открытый диск комплексной плоскости) не соответствует действительности в целом; функции приведенного выше пример дает пример для й = 0 и шара радиуса , превышающего 1, так как степенной ряд 1 — х 2 + х 4 — х 6 . расходится при | х | > 1.

        Любая реальная аналитическая функция на некотором открытом множестве на прямом может быть расширена до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако, не всякая вещественная аналитическая функция , определенная на всей числовой прямой может быть расширена до комплексной функции , определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ ( х ) , определенная в приведенном выше пункте контрпример, так как она не определена для й = ± я . Это объясняет , почему ряд Тейлора ƒ ( х ) расходится при | х | > 1, то есть радиус сходимости равен 1 , так как комплексифицированная функция имеет полюс на расстоянии 1 от точки оценки 0 и без каких — либо дальнейших полюсов в пределах открытого диска радиуса 1 вокруг точки оценки.

        Аналитические функции нескольких переменных

        Можно определить аналитические функции нескольких переменных при помощи степенных рядов в этих переменных (см степенного ряда ). Аналитические функции нескольких переменных имеют некоторые из тех же свойств , как аналитические функции одной переменных. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новых и интересных явлений проявляются при работе в 2 -х или более измерений:

        • Нулевые множества комплексных аналитических функций в более чем одной переменной никогда не дискретно в связи с теоремой Гартогса о продолжении .
        • Домены голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных открытых множеств. Однако, в нескольких комплексных переменных характеристика областей голоморфности.- приводит к понятию псевдовыпуклости .
        Математический анализ → Комплексный анализ
        сложный анализ
        Сложные числа
        • Настоящий номер
        • Воображаемый номер
        • Комплексная плоскость
        • Комплексно сопряжённое
        • Unit комплексное число
        Сложные функции
        • Комплексная функция
        • Аналитическая функция
        • Голоморфная функция
        • уравнения Коши-Римана
        • Формальный степенной ряд
        Основы теории
        • Нули и полюсы
        • Интегральная теорема Коши
        • Местное примитивным
        • Интегральная формула Коши
        • Обмотка номер
        • ряд Лорана
        • Изолированная особенность
        • остаток теорема
        • конформное отображение
        • лемма Шварца
        • Гармоническая функция
        • Уравнение Лапласа
        Геометрическая теория функций
        люди
        • Коши
        • Леонард Эйлер
        • Гаусс
        • Жак Адамар
        • Kiyoshi Oka
        • Бернхард Риман
        • Вейерштрасс
        • Анализ портал
        Комментировать
        0 просмотров
        Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

        Это интересно
        No Image Компьютеры
        0 комментариев
        No Image Компьютеры
        0 комментариев
        No Image Компьютеры
        0 комментариев
        No Image Компьютеры
        0 комментариев
        Adblock detector