No Image

Энергия электрона на орбите атома

0 просмотров
22 января 2020

Теория Бора водородоподобных атомов.

Нильс Бор создал теорию строения атома, способную объяснить опыты Резерфорда и спектр излучения паров водорода.

Спектр характеризует распределение интенсивности излучения по шкале частот (или по шкале длин волн).

электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Момент импульса электрона на этих орбитах кратен постоянной Планка:

, (1)

me – масса электрона, — скорость электрона на орбите с номером n, rn – радиус орбиты с номером n, n =1,2,3,….

Дж·с – постоянная Планка.

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон, энергия которого

. (2)

E n1 и E n2 — энергия электрона в состоянии 1 и 2 (т.е. на орбитах 1 и 2), — частота электромагнитных волн, — постоянная Планка.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода.

1-й постулат Бора, .

Выразим скорость электрона:

. (3)

Рассмотрим круговые электронные орбиты. На электрон с зарядом e со стороны ядра с зарядом +e действует сила Кулона F, сообщая электрону нормальное ускорение,

.

По 2-му закону Ньютона,

. (4)

Сократим и подставим скорость из (3):

.

.

Радиус первой орбиты электрона (n = 1), называется радиусом Бора ,

= 0.53·10 -10 м.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода

, n =1,2,3,…. – номер орбиты.

Энергия электрона в атоме водорода.

Энергия электрона представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной .

и .

Потенциальная энергия – это энергия электрона с зарядом в электрическом поле ядра. Из уравнения (4) видно, что

.

Тогда на n –ой орбите энергия электрона равна

= =.

Т.е. кинетическая энергия электрона равна полной энергии, взятой со знаком «-».

Также полную энергию можно записать через потенциальную:

= , или

.

Подставим . Тогда

= .

Энергия на первой орбите (на первом энергетическом уровне) равна

= = -13,6 эВ.

Величину = 13,6 эВ = 2,18∙10 -18 Дж называют энергией ионизации (эта энергия необходима, чтобы перевести электрон, находящийся на первом уровне, в свободное состояние, т.е. чтобы ионизовать атом). Окончательно, энергия электрона на n –ом энергетическом уровне (на n –ой орбите) записывается как

= .

Спектр излучения водорода.

Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:

.

Частота , длина волны, — скорость света в вакууме.

= + = ,

= .

= — формула Бальмера,

определяет длины волн в спектре атома водорода.

= 1,1∙10 7 м -1 — постоянная Ридберга.

и — номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.

Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением в УФ области спектра (серия линий Лаймана),

переходы на уровень с = 2 приводят к линиям в видимой области (серия Бальмера),

переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению в ИК области.

.

По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны

,

— длина волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.

Согласно правилу квантования орбит ( принципу Зоммерфельда ) связь между энергией стационарных состояний электрона в атоме, радиусом его орбиты и скоростью на этой орбите задается формулой

Читайте также:  Через какое время мегафон блокирует сим карту

где m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; v — скорость электрона; r — радиус орбиты электрона; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Из правила квантования орбит следует, что стационарным состояниям электрона в атоме соответствуют только такие орбиты электронов, для которых выполняется условие

где r n — радиус электрона на орбите с номером n ; v n — скорость электрона на орбите с номером n ; m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Радиус стационарной орбиты электрона в водородоподобном атоме определяется формулой

r n = ℏ 2 n 2 k Z e 2 m ,

где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 — электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z — порядковый номер элемента; e — заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; m — масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода ( Z = 1 и n = 1) равен

r 1 = ℏ 2 k e 2 m = 0,53 ⋅ 10 − 10 м

и называется первым боровским радиусом .

Для упрощения вычислений радиуса n-й орбиты электрона в водородоподобном атоме применяют формулу

r ( Å ) = 0,53 ⋅ n 2 Z ,

где r (Å) — радиус в ангстремах (1 Å = 1,0 ⋅ 10 −10 м); Z — порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … — главное квантовое число.

Скорость электрона на стационарной орбите в водородоподобном атоме определяется формулой

v n = k Z e 2 n ℏ ,

где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 — электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z — порядковый номер элемента; e — заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; ℏ — приведенная постоянная Планка, ℏ = = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h — постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n — главное квантовое число.

Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода ( Z = 1 и n = 1) равна

v n = k e 2 ℏ = 2,2 ⋅ 10 6 м/с.

Для упрощения вычислений величины скорости электрона на n-й орбите в водородоподобном атоме применяют формулу

v ( м/с ) = 2,2 ⋅ 10 6 ⋅ Z n ,

где v (м/с) — модуль скорости в м/с; Z — порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … — главное квантовое число.

Пример 21. Электрон в атоме гелия переходит с первой орбиты на орбиту, радиус которой в 9 раз больше. Найти энергию, поглощенную атомом.

Решение . Энергия, поглощенная атомом гелия, равна разности энергий:

где E 1 — энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 1 ; E 2 — энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 2 .

Энергии электрона в атоме гелия ( Z = 2) определяются следующими формулами:

  • в состоянии с главным квантовым числом n 1 = 1 —

E 1 ( эВ ) = − 13,6 Z 2 n 1 2 = − 54,4 эВ ;

  • состоянии с главным квантовым числом n 2 —
Читайте также:  Что означают цифры в ip адресе

E 2 ( эВ ) = − 54,4 n 2 2 .

Для определения энергии E 2 воспользуемся выражением для радиусов соответствующих орбит:

  • для орбиты с главным квантовым числом n 1 = 1 —

r 1 ( Å ) ≈ 0,53 n 1 2 Z = 0,265 Å ;

  • орбиты с главным квантовым числом n 2 —

r 2 ( Å ) ≈ 0,265 n 2 2 .

r 2 ( Å ) r 1 ( Å ) = 0,265 n 2 2 0,265 = n 2 2

позволяет определить главное квантовое число второго состояния:

n 2 = r 2 ( Å ) r 1 ( Å ) = 9 = 3 ,

где r 2 / r 1 — заданное в условии отношение радиусов орбит, r 2 / r 1 = 9.

Из отношения энергий

E 2 E 1 = 1 n 2 2

следует, что энергия электрона в атоме гелия во втором состоянии

E 2 = E 1 n 2 2 = − 54,4 эВ 3 2 = − 6,04 эВ .

Энергия, поглощенная атомом при указанном переходе, является разностью

∆ E = E 2 − E 1 = −6,04 − (−54,4) = 48,4 эВ.

Следовательно, при указанном переходе атом поглотил энергию, равную 48,4 эВ.

Читайте также:

  1. V2: Работа и энергия
  2. V2: Энергия волны
  3. Абсолютно упругий и неупругий удар тел. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии
  4. Альтернативные формы стационарной помощи
  5. В схеме, состоящей из конденсатора и катушки, происходят свободные электромагнитные колебания. Энергия конденсатора в произвольный момент времени t определяется выражением
  6. Внутренняя энергия идеального газа
  7. Внутренняя энергия идеального газа. Работа газа при изобарном расширении. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам. Понятие о втором начале термодинамики.
  8. Внутренняя энергия реального газа
  9. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля — Томсона
  10. Внутренняя энергия тела и способы её изменения. Изменение внутренней энергии тела при нагревании. Первое начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы.
  11. Внутренняя энергия. Количество теплоты. Работа в термодинамике
  12. Вокруг движущегося электрона возникает магнитное поле

Константа аВ, имеющая размерность длины, называется радиусом Бора В=5.29·10 -11 м ). Смысл числа п — номер разрешенной орбиты. Радиус Бора радиус низшей орбиты (п=1) в атоме водорода (Z=1). Если устремить к нулю значение постоянной Планка, то получаем, что радиус Бора стремится к нулю: падение электрона на ядро как в классической физике.

Формула (3.3) определяет дискретные значения энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода, или, как говорят, энергетические уровни. Отрицательные значения Еп соответствуют связанным состояниям электрона в атоме, то есть движениям в ограниченной области пространства (аналог в классической физике движение планет по эллипсам в отличие от гиперболических траекторий, уходящих на бесконечность).

При решении задач о поведении электрона в атоме обычно возникают выражения, включающие квадрат электрического заряда электрона е 2 в комбинации с электрической постоянной e. Для выполнения численных расчетов удобно ввести так называемую постоянную тонкой структуры:

(3.4)

Приведем для справки формулу для энергии (3.3), выраженной через постоянную тонкой структуры:

Из-за множителя a 2 характерные для атома энергии оказываются на четыре порядка меньше энергии покоя электрона. Это проявление нерелятивизма атомных систем.

Пример 1.Определим скорость электрона на n-й орбите атома Бора. Радиус п-й орбиты определяется формулой

где аВ — радиус Бора. Скорость электрона v можно выразить через момент импульса L=nh:

Выражение для радиуса Бора упростим, используя введенную постоянную тонкой структуры:

(3.5)

Подставляя это выражение в полученную выше формулу для скорости электрона, получаем для n-й орбиты

Отсюда вытекает, что на низшей орбите скорость электрона приблизительно в 137 раз меньше скорости света, то есть атом — действительно нерелятивистская система. На n-й орбите скорости электрона в п раз меньше, чем на первой. Численный пример: на второй орбите скорость электрона равна

При переходе с уровня k на уровень п (k>п) излишек энергии Еkп перейдет в энергию фотона hvnk. Поэтому для спектра излучаемых частот получаем соотношение (ср. (3.1))

Читайте также:  Стандартный балкон в хрущевке размеры

Таким образом, теория Бора позволила также вычислить постоянную Ридберга. Стало понятно и существование спектральных серий, и предельных значений lп,MIN (рис. 3.3).


Рис. 3.3. Схема энергетических уровней в атоме Бора: переходы электрона с высшего на низший уровень для каждой серии линий соответствуют длинам волн l1,MIN, l2,MIN, l3,MIN и т.д.

Экспериментальное подтверждение гипотеза Бора нашла в опытах Франка-Герца, которые заключались в бомбардировке паров ртути электронами в вакуумной трубке и измерении зависимости анодного тока от ускоряющей разности потенциалов. Схема опыта приведена на рис. 3.4.


ис. 3.4. Схема опыта Франка-Герца

В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (около 1 мм. рт. ст.), имеются три электрода: анод А, катод К и сетка С. Электроны, вылетающие с поверхности подогретого катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются напряжением U, приложенным между катодом и сеткой. Это напряжение можно менять с помощью потенциометра П. Между анодом и сеткой приложено слабое обратное поле с разностью потенциалов порядка 0.5 В, тормозящее движение электронов к аноду. Определялась зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U. Полученные результаты приведены на рис. 3.5.


Рис. 3.5. Зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U в опыте Франка-Герца

Сила тока сначала монотонно возрастает, достигает максимума при напряжении 4.9 В, после чего с ростом U резко падает, достигает минимума и снова начинает расти. Максимумы силы тока повторяются при напряжениях 9.8 В, 14.7 В и т.д. Чередование максимумов на равном расстоянии друг от друга доказало дискретность изменения энергии атома.

Пример 2.При переходе с третьего уровня на второй (головная линия серии Бальмера) водородоподобный ион атома некоторого элемента испускает фотон с энергией 7.5 эВ. Определим, какой это элемент.

Энергия электрона, находящегося на п-й орбите около ядра с зарядом Ze, равна

При переходе с уровня п=3 на уровень п=2 выделяется энергия

откуда

Атомный номер элемента — целое число, так что после округления получаем Z=2, что соответствует гелию.

Как отмечалось выше, еще до появления теории Бора был изучен спектр водородного атома и эмпирически установлена формула (3.1). Но при наблюдении спектра Солнца были замечены линии, казалось бы, нарушающие эту формулу, так как они соответствовали полуцелым значениям n и k. После появления теории Бора стало ясно, что квантовые числа п и k все-таки должны быть целыми, а кажущиеся полуцелые значения можно объяснить по-другому. Действительно, из формулы (3.6) для частот, испускаемых водородоподобным атомом,следует, что

то есть наблюдавшиеся линии принадлежат иону элемента с Z=2. Как известно, этот элемент носит «солнечное» имя — гелий.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)

«>

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector