No Image

Эпюр монжа как строить

0 просмотров
22 января 2020

Конспект лекционных занятий.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Геометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

Центральное проецирование. Центральное проецирование состоит из центра проецирования S и плоскости проекций Пi . Для построения проекции точки Аi некоторой точки А пространства выполняют следующие операции:

— строят проецирующую прямую SA;

— определяют точку Аi пересечения SA с плоскостью Пi.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: А®Аi;

2. прямая проецируется в прямую: m®mi (проецирующая прямая проецируется в точку);

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ¥ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

5. отношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

Прямоугольное проецирование.Если направление s параллельного проецирования перпендикулярно плоскости Пi , то проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Все свойства параллельного проецирования справедливы в случае прямоугольного проецирования.

7.

где a — угол между отрезками АС, ВС и плоскостью проекций Пi (рисунок 1.2).

Правило прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, один катет которого равен проек­ции отрезка на Пi , а второй катет – раз­ности расстояний концов отрезка до этой плоскости проекций.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Требования, предъявляемые к чертежу.К чертежу предъявляются следующие требования: обратимость, точность, простота, наглядность. Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. В инженерной практике широко используются обратимые чертежи: — эпюр Монжа, аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками.

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П1(фронтальная), П2 (горизонтальная) делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П3, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

Плоскости П1, П2, П3 делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Читайте также:  Учетная запись майкрософт создать на телефоне нокиа

Основная литература: 1 осн.[8-20 ], 2 осн. [4-30 ]

Дополнительная литература: 1 доп.[7-14].

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

1. Перечислите свойства центрального проецирования.

2. Перечислите свойства параллельного проецирования.

3. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

4. Что называют ортогональной проекцией точки?

5. Как образуются проекции точки на плоскостях П1, П2, П3?

6. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?

Дата добавления: 2014-12-07 ; Просмотров: 3146 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Проецирование точки

Выделим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2, которые пересекаются по оси, называемой осью проекций или осью координат (рис. 10). Проводя из точки А перпендикулярно плоскостям прямые линии (проецирующие лучи) до их пересечения с плоскостями, определяем две ортогональные проекции точки А – А1иА2. Проецирующие прямые АА1 и АА2 определяют проецирующую плоскость, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х. Прямые А1АХ и АХА2,являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П1 и П2, будут перпендикулярны к оси проекций х.

Здесь, как и в случае центрального проецирования, одной точке пространства соответствуют две ее проекции. Аналогичным образом мы можем получить две проекции точек В,С или любой другой точки пространства.

Если положение плоскостей фиксировано, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Справедливо и обратное утверждение – упорядоченной паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.

Эти утверждения являются фундаментальными и составляют основу построения проекционного чертежа.

Плоскости П1и П2при пересечении образуют четыре двугранных угла. Их называют квадрантами или четвертями пространства.

На практике в ряде построений или при решении задач появляется необходимость вводить в систему плоскостей П1и П2 и другие плоскости проекций. Чертежи машин или их частей часто содержат больше двух изображений. Если ввести в систему двух плоскостей проекций П1и П2еще одну плоскость проекций, то имеет смысл расположить ее перпендикулярно двум существующим. На практике третью плоскость проекций располагают так, как показано на рис. 11, и обозначают П3. Так же как и плоскости П1и П2, плоскость П3расположена вертикально. При введении третьей плоскости проекций появляются еще две оси координат – одна вертикальная, другая горизонтальная, которые одновременно являются линиями пересечения трех плоскостей проекций. Принятые обозначения координатных осей: х – ось абсцисс; у – ось ординат; z – ось аппликат. Точка пересечения осей принимается за начало координат и обозначается буквой О.

Условно принята правая система расположения координатных осей. Ось х направлена от начала координат влево, ось у – вперед (к наблюдателю), ось z – вверх. Обратные направления осей считаются отрицательными. Такую систему осей координат и плоскостей проекций называют декартовой системой, по имени французского ученого Р. Декарта (1596–1650), предложившего прямоугольную систему координат для определения положений точек в пространстве. Координатные плоскости, или плоскости проекций, имеют следующие названия:

Читайте также:  Утяжелители для ног своими руками фото

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов, разделяя пространство на восемь частей – восемь октантов. Расположение октантов и их номера показаны на рис. 12.

В настоящее время в технической практике получил широкое применение чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого предмета. Такой чертеж называют комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Представим точку А в системе трех плоскостей (рис. 13). Проводя из точки А прямые линии, перпендикулярные плоскостям до их пересечения с этими плоскостями, определяем ортогональные проекции точки А. Проекции точки А на плоскостях называют соответственно горизонтальной А1, фронтальной А2 и профильной проекцией А3 точки А. Точка в пространстве удалена от начала координат на расстояние от оси ее фронтальной, горизонтальной и профильной проекций.

Ввиду неудобства пользования пространственным макетом, на чертеже его разворачивают и представляют эпюром – чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры (рис. 14).

При преобразовании пространственного макета фронтальная проекция точки А – А2 остается на месте, как принадлежащая плоскости p2, которая не меняет своего положения. Профильная плоскость проекций вместе с проекцией А3 развернется, и проекция А3 расположится с фронтальной проекцией точки А на одном перпендикуляре к оси z. Горизонтальная проекция А1 после разворота плоскости p1 расположится с фронтальной проекцией точки А на одном перпендикуляре к оси х.

Развернутый пространственный макет называют эпюром Монжа. На чертеже контуры плоскостей проекций не показывают. Прямые, соединяющие разноименные проекции точки А, называют линиями связи. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру – одной линии связи.

Связь между горизонтальной и профильной проекциями может быть определена с помощью двух отрезков ОАY и ОАY, которые равны, поскольку принадлежат одной и той же оси. Этой связью пользуются для того, чтобы найти недостающую горизонтальную или профильную проекции точки.

Ортогональный чертеж (эпюр) точки А является полным и метрически определенным. Как видно из эпюра, сочетание двух любых проекций точки дает значение всех трех координат:

Поэтому положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее ортогональных проекций. Как следствие, по двум заданным проекциям всегда можно построить недостающую третью.

Расстояния точки от плоскости проекций и от осей координат могут быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. Как видно из рис. 13, точка А располагается от горизонтальной проекции на расстоянии, равном отрезку А1 А.Этот отрезокпроецируется на фронтальную и профильную проекции без искажения, следовательно, отрезки Аx А2 и Аy А3 равны отрезку А1 А. Поэтому определить расстояния точки А от горизонтальной плоскости проекций на эпюре (см. рис. 14) можно, измерив отрезки А2 Аx или А3 Аy. Аналогичным образом можно определить по эпюру расстояния точки А и от двух других плоскостей проекций:

от фронтальной плоскости – А2 А = Аx А1 = Аz А3

Читайте также:  Что такое макрос в ворде

от профильной плоскости – А3 А = Аz А2 = Аy А1

Чем длиннее будут эти отрезки, тем дальше от соответствующих плоскостей проекций будет расположена точка в пространстве, поэтому, зная эти закономерности, можно легко определять по эпюру положение любой точки пространства. Если на эпюре будут заданы две или более точек, то, сравнивая длину отрезков каждой точки, можно точно определить, как относительно плоскостей проекций или наблюдателя будут расположены эти точки в пространстве.

При переходе к эпюру утрачивается пространственная картина расположения плоскостей проекций и объектов, но эпюр обеспечивает точность при значительной простоте построений. Чтобы по нему представить пространственную картину объекта, требуется лишь работа воображения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Эпюра Монжа или комплексный чертеж — это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V: — для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z; — после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x.

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V[H(W)] указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H, далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W.

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

Эпюра Монжа может быть выполнена с помощью: — обычных чертежных инструментов и приспособлений: Чертежные инструменты; Чертежные принадлежности и приборы; — Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: Выполнение чертежа в графическом редакторе.

В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:

— в черном цвете отображается известное по условию задачи; — в зеленом цвете отображаются все построения которые ведут к решению задачи; — в красном цвете отображается найденные искомые задачи. По условию задачи заданы проекции треугольника ABC(A`B`C`, A"B". "). Для решения задачи необходимо найти недостающую проекцию C".

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector