No Image

Что такое частота дискретизации сигналов

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Частота дискретизации (или частота сэмплирования) — частота, с которой происходит оцифровка, хранение, обработка или конвертация сигнала из аналога в цифру. Частота дискретизации, согласно Теореме Котельникова, ограничивает максимальную частоту оцифрованного сигнала до половины своей величины.

Чем выше частота дискретизации, тем более качественной будет оцифровка. Как следует из теоремы Котельникова для того чтобы однозначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна превышать наибольшую необходимую частоту сигнала в два раза.

Используемые частоты дискретизации звука

8 000 Гц телефон, достаточно для речи, кодек Nellymoser;
11 025 Гц
22 050 Гц радио;
44 100 Гц используется в Audio CD;
48 000 Гц DVD, DAT;
96 000 Гц DVD-Audio (MLP 5.1);
192 000 Гц DVD-Audio (MLP 2.0);
2 822 400 Гц SACD Super audio CD 5.1 — максимальная на 2008 год.

Взаимосвязь качества звука и частоты дискретизации [ править ]

Преобразование аналогового сигнала в цифровой состоит из двух этапов: дискретизации по времени и квантования по амплитуде. Дискретизация по времени означает, что сигнал представляется рядом отсчетов (сэмплов), взятых через равные промежутки времени. Например, когда мы говорим, что частота дискретизации 44,1 кГц, то это значит, что сигнал измеряется 44 100 раз в течение одной секунды.

Основной вопрос на первом этапе преобразования аналогового сигнала в цифровой (оцифровки) состоит в выборе частоты дискретизации аналогового сигнала. Чем больше частота, тем точнее соответствует цифровой сигнал аналоговому. Однако пропорционально увеличению частоты возрастают:

  • Интенсивность потока цифровых данных, а пропускные возможности интерфейсов не безграничны, особенно если записывается/воспроизводится одновременно несколько каналов;
  • Вычислительная нагрузка на цифровые процессоры, а их вычислительные возможности также ограничены;
  • Увеличивается необходимый объем памяти, для хранения цифрового сигнала.

Очевидно, что необходим компромисс. От выбора частоты дискретизации зависит частотный диапазон полученного цифрового звука и максимальная частота аналогового сигнала, правильно представленная в цифровом. Считается, что человек слышит частоты в диапазоне от 20 до 20 000 Гц. Согласно известной теореме Котельникова, для того, чтобы аналоговый (непрерывный по времени) сигнал можно было точно восстановить по его отсчетам, частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной звуковой частоты.

Звуковая частота, равная половине частоты дискретизации, называется частотой Найквиста и является максимальной частотой, которую данная цифровая система может правильно сохранить и воспроизвести. Таким образом, если реальный аналоговый сигнал, который мы собираемся преобразовать в цифровую форму, содержит частотные компоненты от 0 до 20 кГц, то частота дискретизации такого сигнала должна быть не менее 40 кГц. Сегодня самыми распространенными частотами дискретизации являютcя 44,1 кГц (CD) и 48 кГц (DAT).

Итак, преобразование аналогового сигнала в цифровой состоит из двух этапов: дискретизации по времени и квантования по амплитуде. Дискретизация по времени означает, что сигнал представляется рядом своих отсчетов (семплов), взятых через равные промежутки времени. Например, когда мы говорим, что частота дискретизации 44,1 кГц, то это значит, что сигнал измеряется 44100 раз в течении секунды

Основной вопрос на первом этапе преобразования аналогового сигнала в цифровой (оцифровки) состоит в выборе частоты дискретизации аналогового сигнала. Как уже было сказано, чем больше частота — тем точнее соответствует цифровой сигнал аналоговому. Однако, пропорционально увеличению частоты возрастают:

а) интенсивность потока цифровых данных, а пропускные возможности интерфейсов не безграничны, особенно если записывается/воспроизводится одновременно несколько каналов;

б) вычислительная нагрузка на цифровые процессоры эффектов, а их вычислительные возможности также ограничены;

в) объем памяти, необходимой для хранения цифрового сигнала. Очевидно, что необходим компромисс.

От выбора частоты дискретизации зависит частотный диапазон полученного цифрового звука или максимальная частота аналогового сигнала, правильно представленная в цифровом. Считается, что диапазон частот, которые слышит человек, составляет от 20 до 20000 Гц. Согласно известной теореме Котельникова, для того, чтобы аналоговый (непрерывный по времени) сигнал можно было точно восстановить по его отсчетам, частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной звуковой частоты. Таким образом, если реальный аналоговый сигнал, который мы собираемся преобразовать в цифровую форму, содержит частотные компоненты от 0 Гц до 20 кГц, то частота дискретизации такого сигнала должна быть не меньше, чем 40 кГц. Сегодня самыми распространенными частотами дискретизации являются 44,1 кГц (CD) и 48 кГц (DAT). Впрочем, в последнее время идет немало разговоров о том, что обертоны, расположенные свыше 20 кГц, вносят немалый вклад в звучание и в результате появляются преобразователи, использующие частоты дискретизации 96 кГц и 192 кГц, а в недалеком будущем ожидается появление и систем с частотой 384 кГц.

Тем не менее, исходный аналоговый сигнал обычно имеет спектр, сосредоточенный в основном в полосе частот от 20 Гц до, примерно, 20 кГц. Однако, кроме того в сигнале обычно содержатся помехи с частотами до нескольких сот килогерц. Это различные трудно устранимые наводки от компьютерной техники, промышленных и электробытовых приборов, трамваев, троллейбусов и т. д. На рисунке внизу вы видите спектр исходного аналогового сигнала.

Читайте также:  Схема подключения двд к телевизору

В процессе дискретизации частотный спектр аналогового сигнала претерпевает значительные изменения. Он становится периодическим. Спектр исходного сигнала периодически повторяется с периодом равным частоте дискретизации. Результат этого процесса показан на рисунке внизу. Высокочастотные компоненты исходного сигнала (помехи) попадают в низкочастотную часть спектра.

Все это выглядит весьма непривычно, если не сказать, что вообще противоречит здравому смыслу! Получается, что происходит дискретизация высокочастотных сигналов, лежащих значительно выше не только частоты Найквиста, но и самой частоты дискретизации. На первый взгляд это даже противоречит упомянутой выше теореме Котельникова. Однако это происходит именно так.

Второе изменение спектра заключается в его расширении. В отличии от "свертки" этот факт уже не противоречит здравому смыслу и вполне очевиден. После дискретизации относительно низкочастотный исходный аналоговый сигнал представляет из себя последовательный временной ряд очень узких импульсов с разной амплитудой и с очень широким спектром до нескольких мегагерц (математический факт — чем уже импульс, тем шире его спектр). Поэтому и в целом спектр такой последовательности импульсов расширяется до тех же нескольких мегагерц. Таким образом, спектр дискретизированного сигнала значительно шире спектра исходного аналогового сигнала.

Так как весь исходный спектр свернулся в полосу частот от 0 Гц до частоты Котельникова, то логично и естественно, что расширение спектра происходит дублированием спектра из полосы от 0 Гц до частоты Котельникова.

Итак, реальные аналоговые сигналы часто содержат высокочастотные составляющие, плохо поддающиеся оцифровке на стандартных частотах 44,1 кГц или 48 кГц. Поэтому перед дискретизацией необходима аналоговая фильтрация, то есть удаление всех частот выше частоты Котельникова, являющаяся довольно сложной задачей. Аналоговые фильтры не могут пропустить, скажем, все частоты от 0 Гц до 24 кГц и подавить все частоты выше 24 кГц. Аналоговый фильтр низких частот начинает подавлять высокие частоты начиная с некоторой частоты, называемой частотой среза. Подавление плавно усиливается с ростом частоты. Поэтому, чтобы добиться отсутствия частот выше 24 кГц необходимо устанавливать частоту среза фильтра примерно на 16..20 кГц, а это уже плохо, так как будут ослаблены полезные частоты в слышимом диапазоне 16..20 кГц. Еще одна неприятность состоит в том, что чем более узкой мы пытаемся сделать переходную область между полосой пропускания и полосой подавления фильтра, тем сильнее вносимые фазовые искажения, длиннее переходный процесс (фильтр начинает "звенеть") и тем сложнее и капризнее в настройке такой аналоговый фильтр.

В современных АЦП эта проблема решается методом дискретизации на повышенной частоте. По этому методу диапазон частот входного аналогового сигнала ограничивается с помощью сравнительно несложного аналогового фильтра. Причем частота среза фильтра выбирается значительно выше высшей полезной частоты, а переходная полоса фильтра делается достаточно широкой.

Таким образом, исключаются и завал полезных высших частот, и фазовые искажения, характерные для аналоговых фильтров с узкой переходной полосой. Далее, отфильтрованный, с ограниченным по частоте спектром, сигнал дискретизируется на достаточно высокой частоте, исключающей наложение и искажение спектра — алиазинг (aliasing). Затем дискретные отсчеты сигнала преобразуются в последовательность чисел с помощью АЦП. После этого мы имеем поток цифровых данных, представляющих аналоговый сигнал, включающий как полезные, так и нежелательные высокочастотные компоненты и помехи. Эти цифровые данные пропускаются через цифровой фильтр с очень узкой переходной полосой и очень большим подавлением нежелательных высокочастотных компонент. Сегодня расчет и создание таких цифровых фильтров, к тому же не вносящих никаких фазовых искажений, не представляют больших трудностей.

После цифрового фильтра получается цифровое представление сигнала, имеющего спектр, правильно ограниченный по частоте. Применяя к такому сигналу теорему Котельникова мы можем резко понизить частоту его дискретизации до удвоенной величины наивысшей полезной частотной составляющей, чего мы и хотели добиться. Надо отметить, что часто цифровые фильтры находятся в той же микросхеме, что и другие узлы АЦП, так что пользователь даже может и не подозревать какие сложные процессы происходят в его АЦП.

Применяется дискретизация на повышенной частоте (oversampling) и в цифро-аналоговых преобразователях (ЦАП). В ЦАП также есть проблема сложности аналоговых восстанавливающих (интерполирующих) фильтров. Ведь сразу после ЦАП сигнал представляет собой серию дискретных импульсов, имеющих многочисленные алиазинговые спектральные компоненты. На аналоговый фильтр в этом случае возлагается задача полностью пропустить сигнал нужного частотного диапазона (скажем 0..24 кГц) и, по возможности, наиболее полно подавить ненужные высокочастотные компоненты. И, конечно, чисто аналоговому фильтру выполнить такие противоречивые требования очень сложно. Поэтому сначала цифровой сигнал интерполируют, то есть вставляют дополнительные отсчеты, вычисленные по специальным алгоритмам и, тем самым, резко увеличивают частоту дискретизации. Это приводит к тому, что алиазинговые спектральные компоненты на выходе ЦАП далеко отстоят от частотных компонент основного сигнала и, соответственно, чтобы отфильтровать (подавить) их достаточно применить простой аналоговый фильтр.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10238 — | 7597 — или читать все.

Читайте также:  Трансформатор 220 на 110 вольт своими руками

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания

В предыдущих параграфах мы неоднократно говорили, что при дискретизации аналогового сигнала происходит бесконечное периодическое копирование спектральной плотности сигнала c периодом, равным частоте дискретизации рад/с.

В результате, становится периодической функцией частоты , и при соблюдении условий теоремы Котельникова, копии не перекрываются, что дает возможность произвести восстановление исходного аналогового сигнала по дискретному . Однако в общем случае, в результате копирования по частоте, может наблюдаться эффект наложения спектра сигнала, который носит название алиасинга [1, стр. 197].

В данном разделе мы проанализируем данный эффект и рассмотрим пути подавления алиасинга при дискретизации сигналов.

Частотные зоны Найквиста

Ввиду того, что спектральная плотность после дискретизации становится периодической, с периодом равным рад/с, мы можем разбить ось частот на зоны шириной как это показано на рисунке 1

Частотные зоны, обозначенные римскими цифрами, разделяют ось частот на полосы шириной рад/с симметрично относительно нулевой частоты. В результате суммарная ширина каждой зоны равна частоте дискретизации , так как каждая зона состоит из полосы как в положительной, так и в отрицательной полуоси частот.

Частотные зоны, показанные на рисунке 1, носят название зон Найквиста. При этом выделяют первую зону Найквиста, занимающую полосу рад/с, а также высшие зоны: вторую, третью и т.д.

Частота , отделяющая границу первой зоны называется частотой Найквиста [2, стр. 169].

Дискретизация сигнала из высших зон Найквиста

Пусть исходный вещественный сигнал имеет спектральную плотность , расположенную в одной из высших зон Найквиста, как это показано на рисунке 2а.

Тогда при копировании , в соответствии с (1), спектральная плотность дискретного сигнала будет иметь вид, как это показано на рисунке 2б.

Можно видеть, что при дискретизации сигнала, спектральные компоненты «размножаются» во все зоны Найквиста, в результате сигнал из высшей зоны (заштрихованные компоненты) отображается в первую зону. Такое «просачивание» сигнала из высшей зоны Найквиста в первую зону называется эффектом наложения [2, стр. 168], или алиасингом [1] [1, стр. 197].

Важно отметить, что по дискретному сигналу невозможно определить из какой зоны Найквиста исходный аналоговый сигнал был дискретизирован.

Если исходный аналоговый сигнал будет представлен сразу в нескольких зонах Найквиста, то при дискретизации произойдет смешение спектральных компонент сигнала, как это показано на рисунке 3

Спектральная плотность входного аналогового сигнала представлена в первой и третьей зонах одновременно (рисунок 3а). Тогда на выходе АЦП мы будем иметь дискретный сигнал, чья спектральная плотность показана на рисунке 3б. Копии спектральной плотности из третье зоны Найквиста смешиваются с сигналом в первой зоне, и мы не сможем их разделить в цифровой области.

Разумеется, последний пример не выполняет условий теоремы Котельникова, в результате чего алиасинг вносит неустранимые искажения в дискретный сигнал на выходе АЦП. В большинстве случаев алиасинг вреден и требуется применять методы для его устранения при дискретизации сигналов.

Использование аналогового фильтра для устранения алиасинга на выходе АЦП

Подавить алиасинг на выходе АЦП можно при помощи аналогового ФНЧ с частотй среза равной частоте Найквиста (половине частоты дискретизации), как это показано на рисунке 4.

На верхнем графике показана спектральная плотность исходного сигнала (как на рисунке 3), содержащая компоненты в первой и третьей зонах Найквиста. Также показана АЧХ аналогового ФНЧ, который пропускает только сигнал в первой зоне Наквиста и подавляет сигнал во всех высших зонах. В результате вход АЦП не будет содержать компонент из высших зон Найквиста и на выходе АЦП алиасинг не будет наблюдаться.

Таким образом, ФНЧ перед АЦП призван гарантировать соблюдение условий теоремы Котельникова при дискретизации сигнала.

Разумеется, реальные ФНЧ не могут обеспечить полного подавления в полосе заграждения, но могут обеспечить подавление до заданного уровня, например до уровня шумов АЦП. При этом будут наблюдаться незначительные искажения сигнала в полосе пропускания ФНЧ в первой зоне Найквиста. Допустимый уровень искажений в полосе пропускания должны быть заданы при проектировании ФНЧ.

Демонстрация алиасинга во временно́й области

В предыдущих параграфах мы рассмотрели эффект алиасинга в частотной области, возникающий в результате копирования спектральной плотности при дискретизации сигнала. В данном параграфе мы покажем эффект алиасинга во временно́й области.

Пусть исходный сигнал имеет вид (см. рисунок 5а):

Возьмем дискретные отсчеты сигнала (2) с периодом с. Тогда частота дискретизации Гц, или рад/с. Частота Найквиста равна половине частоты дискретизации, т.е. рад/с.

Поскольку сигнал находится во второй зоне Найквиста, то при дискретизации мы будем иметь алиасинг, как это показано на рисунке 5в, и спектральная плотность будет иметь вид, показанный на рисунке 5г. Из рисунка 5г видно, что в первой зоне Найвиста появились компоненты на частотах рад/с. Во временно́й области это огибающая на частоте рад/с, причем по дискретному сигналу непонятно в какой зоне Найквиста находится исходный сигнал.

Читайте также:  Удаленный рабочий стол динамический ip

Дискретизации гармонических сигналов на границах зон Найквиста

В конце данного раздела рассмотрим любопытный эффект, возникающий при дискретизации гармонического сигнала, расположенного на границе зон Найквиста (если частота дискретизации точно равна удвоенной частоте сигнала ).

Пусть дано два сигнала и . Продискретизируем оба сигнала с частотой дискретизации рад/с (интервал дискретизации с), как это показано на рисунке 6.

Можно видеть, что дискретизация сигнала произведена в точках максимума и минимума и аналоговый сигнал может быть полностью восстановлен. Сигнал дискретизирован в нулях, в результате, все отсчеты данного сигнала равны нулю и сигнал полностью потерян.

Чтобы понять данный эффект необходимо вновь обратиться к выражению (1), а также вспомнить выражения для спектральных плотностей и сигналов и соответственно (см. параграф ):

При дискретизации сигналов и , их спектральный плотности и будут копированы с периодом рад/c и сложены со своими частотными копиями как это показано на рисунке 7.

Тогда при дискретизации сигнала , копии спектральной плотности будут попадать строго на одни и те же частоты и при сложении удвоятся. Используя идеальный фильтр нижних частот с АЧХ вида , мы можем восстановить исходный сигнал [2] .

Для сигнала копии также попадают на одни и те же частоты, но при сложении взаимно уничтожаются, потому что имеют различные знаки. В результате спектральная плотность дискретного сигнала становится тождественно равна нулю, что мы и видим во временной области.

Дискуссия

Приведенный пример демонстрирует эффект который возникает при попадании сигнала на границу зон Найквиста. Часто при формулировке теоремы Котельникова говорят [3], что частота дискретизации должна быть больше или равна удвоенной верхней частоте сигнала. Такая формулировка неточна, так как не учитывает приведенный граничный эффект. Поэтому правильнее говорить, что частота дискретизации должна быть строго больше верхней частоты сигнала для исключения граничных эффектов. И тут, необходимо отметить, что термин верхняя частота также видится не вполне корректным. И вот почему.

Рассмотрим сигнал , где рад/c, или проще говоря, частота гармонического сигнала равна 1 МГц. Тогда если руководствоваться понятием верхней частоты, что для представления данного сигнала необходима частота дискретизации больше 2 МГц. С другой стороны полоса самого сигнала равна нулю, а это значит, что сам гармонический сигнал может быть описан всего тремя числами: амплитудой, начальной фазой и частотой. Но если отталкиваться от верхней частоты, то для его описания требуется более 2 миллионов отсчетов каждую секунду. Если мы увеличим частоту до 1 ГГц, то потребуется уже более 2 миллиардов отсчетов каждую секунду, в то время как мы лишь однократно изменили одно число, описывающее частоту колебания.

Таким образом, «синусоида» не несет никакой информации. Чтобы передавать информацию одной «синусоиды» недостаточно, необходимо какой-то параметр из трех менять во времени. Этот процесс мы называем модуляцией. Модуляция приводит к тому, что полоса модулированного сигнала уже не будет нулевой и станет зависеть от полосы модулирующего сигнала. При этом оказывается, что имея сигнал полосой , неважно на какой несущей частоте, мы можем всю полезную информацию получить при дискретизации данного сигнала с частотой, большей или равной данной полосе. Такой метод дискретизации носит название субдискретизации (или полосовая дискретизация), и он основан на доказанной В.А. Котельниковым теореме, которая в работе [4] обозначена как теорема 5.

В таком подходе термин верхняя частота перестает играть роль. Важна полоса сигнала, потому что она определяет количество информации в сигнале. Если вернуться к разделу , то теорема была изначально сформулирована в терминах полосы видеосигнала, причем мы требовали чтобы для исключения эффекта дискретизации на границах зоны Найквиста.

Если продолжать рассуждения, то можно пойти еще дальше, и не использовать полосу, а ставить частоту дискретизации напрямую в зависимость от количества информации в сигнале. Именно такой подход лег в основу техники дискретизации, которая носит название compressed sensing [5] и является неким гибридным методом одновременной дискретизации и сжатия данных с возможностью полного восстановления и сокращения частоты отсчетов.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели эффект алисинга, возникающий при дискретизации аналоговых сигналов, если не соблюдать условия теоремы Котельноикова.

Мы ввели понятие зон Найквиста и показали, что при дискретизации сигналов, представленных в нескольких зонах Найквиста наблюдается смешение частотных компонент на выходе дискретизатора.

Также мы рассмотрели использование аналогового фильтра для ограничении полосы сигнала при дискретизации для устранения эффекта алиасинга.

Алисаинг был продемонстрирован как во временной, так и в частотной областях.

В конце раздела мы продемонстрировали и пояснили краевой эффект при дискретизации гармонических сигналов на границе зон Найквиста.

Смотри также

Примечания

[1] от англ. alias (псевдоним)

[2] Заметим, что мы в параграфе доопределили функцию прямоугольного импульса в момент скачка до величины . В результате при прохождении дискретного сигнала через такой фильтр удвоенные компоненты на частотах будут снова уменьшены в два раза

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector