No Image

Что такое линейное преобразование

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Линейные преобразования

Функциональная зависимость – одно из основных понятий математики. Мы говорим, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменной у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Понятие функциональной зависимости легко обобщается на векторные функции от скалярного аргумента. Мы говорим, что вектор у является вектор-функцией скалярной величины х, если каждому значению скалярной переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменного вектора у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Распространим понятие функциональной зависимости на тот случай, когда не только функция, но и аргумент является вектором.

Если каждому вектору х n-мерного пространства (взятому из некоторой совокупности векторов) соответствует вектор у того же пространства, то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием (оператором).

Закон соответствия обычно записывают в виде , где А – символическое обозначение преобразования. Вектор называют образом вектора х.

Самым простым (и в то же время очень важным) видом преобразования являются линейные преобразования.

Определение. Преобразование А называется линейным, если оно определено для всех векторов пространства, причем для любых векторов х1 и х2 и любого скаляра a справедливы равенства

1. ,

2. .

Из этого определения следует, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов х1, х2, …, хk в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов,

.

Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования:

тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т.е.

,

нулевое преобразование О, ставящее в соответствие каждому
вектору х нулевой вектор:

.

Примеры. 1. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R 3 и в нем преобразование, состоящее в повороте R 3 вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор , полученный из него данным поворотом. Условия 1 и 2 легко проверяются. Проверим, например, первое условие: означает, что векторы х1 и х2 сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается. означает, что векторы х1 и х2 сперва поворачиваются, а затем складываются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же.

2. Пусть R¢ – некоторая плоскость в трехмерном пространстве R 3 , проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию на эту плоскость. Условия 1 и 2 опять легко проверяются. Например, первое условие означает, что проекция суммы равна сумме проекций.

3. Показать, что преобразование , где – действительное число, является линейным.

○ Пусть и – произвольные векторы n-мерного пространства,

– произвольное действительное число. Найдем образы векторов:

, .

Оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены, значит, данное преобразование является линейным. Рассмотренное преобразование А называется преобразованием подобия. ●

4. Преобразование А в линейном пространстве R определено равенством , где – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным?

Читайте также:  Стабилизатор напряжения ресанта 10000 отзывы

○ Найдем образы произвольных векторов и пространства R и их суммы: , , .

Так как , то преобразование А не является линейным. ●

5. Выяснить, является ли преобразование линейным, если вектор .

○ По условию вектор . Пусть вектор . Тогда по определению операций над векторами:

, .

Найдем образы векторов:

,

,

.

Так как выполнены оба условия, определяющие линейное преобразование, то преобразование А является линейным. ●

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9530 — | 7348 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

-отображение векторного пространства в себя, при к-ром образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число — произведение образа вектора на это число. Если V — векторное пространство, f — заданное в нем Л. п. и ж, у — любые векторы пространства, — любое число (элемент поля), то

Если векторное пространство Vимеет конечную размерность — его базис; x 1 , ,x 2 , . х п — координаты произвольного вектора жв этом базисе и у 1 , у 2 , . . ., у п — координаты его образа то координаты вектора y выражаются через координаты. вектора як линейными однородными функциями

наз. матрицей Л. п. f в базисе В ее столбцах стоят координаты образов базисных векторов. Если

— матрица перехода от базиса к базису

то в базисе матрица ВЛ. п. fбудет B= С -1 АС.

Суммой двух Л. п. f и gпаз. такое преобразование А, при к-ром для всякого вектора

Произведением Л. п. f на число l ваз. преобразование k, при к-ром для всякого вектора

Произведением Л. п. f на Л. п. gназ. преобразование

Сумма двух Л. п., произведение Л. п. на число, произведение двух Л. п. являются линейными преобразованиями. Л. п. образуют алгебру. В случае, когда конечномерное пространство имеет размерность п, алгебра его Л. п. изоморфна алгебре квадратных матриц порядка п, элементами к-рых являются элементы того поля, над к-рым построено векторное пространство.

Л. п. f, при к-ром векторное пространство отображается на себя, наз. обратимым, если существует такое преобразование f -1 , что

где Е — тождественное преобразование. Преобразование f -1 является Л. п. и наз. обратным преобразованием к преобразованию f. Л. п., заданное в конечномерном векторном пространстве, обратимо тогда и только тогда, когда определитель его матрицы в каком-нибудь (и тогда во всяком) базисе отличен от нуля. Если А — матрица обратимого Л. п., то матрица обратного ему Л. п. f -1 равна А -1 . Обратимые Л. п. образуют группу по отношению к операции умножения. В случае векторных пространств конечной размерности и эта группа изоморфна группе невырожденных квадратных матриц порядка п.

Читайте также:  Что значит сторонние приложения

Подпространство Vвекторного пространства Vназ. инвариантным подпространством относительно Л. п. f, если . для всякого вектора Ненулевой вектор наз. собственным вектором Л. п. f, соответствующим собственному значению если В случае пространства конечной размерности над полем комплексных чисел всякое Л. п. имеет собственный вектор (обладает одномерным инвариантным подпространством). В случае конечномерного пространства над полем действительных чисел у всякого Л. п. имеется одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Л. п. f, заданное в конечномерном векторном пространстве, наз. диагонализируемым Л. п.,
если в пространстве Vсуществует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет диагональную форму. Другими словами, Л. п. диагонализируемо, еcли пространство обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого Л. п. Однако не всякое Л. п. даже в пространстве над полем комплексных чисел обладает базисом из собственных векторов этого Л. п., напр. Л. п. двумерного пространства, заданное матрицей

у к-рой имеется единственное одномерное инвариантное подпространство с базисом <1, 0>.

В конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел для всякого Л. п. существует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет клеточный вид, где по главной диагонали стоят жордановы клетки, а в остальных местах — нули. Жорданова клетка 1-го порядка состоит из одного числа К;жорданова клетка порядка kесть квадратная матрица порядка kвида

Числа l являются собственными значениями матрицы Л. п. Одному и тому же Я могут соответствовать как несколько клеток одного и того же порядка, так и клетки различных порядков. Матрица, состоящая из жордановых клеток, наз. нормальной жордановой формой матрицы.

Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве, наз. самосопряженным (соответственно эрмитовым), если для всяких двух векторов имеет место равенство ) (соответственно

Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, будет самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе является симметрической (соответственно эрмитовой). Самосопряженное (эрмитово) Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (соответственно унитарном) пространстве, обладает ортонормированным базисом, в к-ром его матрица имеет диагональную форму. По главной диагонали стоят (всегда действительные) собственные значения матрицы АЛ. п.

Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве V, наз. изометрическим (соответственно унитарным), если для всякого вектора

Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, изометрично (соответственно унитарно) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе была ортогональной (соответственно унитарной). Для всякого изометрич. Л. п., заданного в конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица преобразования состоит из клеток 1-го и 2-го порядка, стоящих на ее главной диагонали. Клетки 1-го порядка суть действительные собственные значения матрицы Апреобразования, равные +1 и -1, а клетки 2-го порядка имеют вид

где — действительная часть и коэффициент при i комплексного собственного значения, матрицы А, на остальных местах матрицы Астоят нули. Для всякого унитарного преобразования, заданного в унитарном пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица этого преобразования является диагональной, причем на главной диагонали стоят числа, по модулю равные 1.

Читайте также:  Статистическая диаграмма в excel

Всякое Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, является произведением самосопряженного и изометрич. Л. п. (соответственно эрмитова и унитарного).

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии. М., 1968; [2] Гельфанд II. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [3] Ефимов Н. В., Розендорн 3. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [4] X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963. А. С. Пархоменко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Значение слова «линейный»

ЛИНЕ́ЙНЫЙ , —ая, —ое. 1. Прил. к линия (в 1 знач.). (Малый академический словарь, МАС)

Значение слова «преобразование»

ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ , -я, ср. 1. Действие по знач. глаг. преобразовать; действие и состояние по знач. глаг. преобразоваться. Социалистическое преобразование сельского хозяйства. Преобразование постоянного тока в переменный. (Малый академический словарь, МАС)

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова востроносый (прилагательное):

Синонимы к словосочетанию «линейное преобразование»

Предложения со словосочетанием «линейное преобразование»

  • Усиление или ослабление звукового сигнала в целом или изменение уровня отдельных его гармонических составляющих называют линейным преобразованием звука.
  • Линейные преобразования настолько очевидны, что их может выполнить любой лицеист-математик.
  • Вторая главная компонента имеет наибольшую дисперсию среди всех, оставшихся линейных преобразований, некоррелированных с первой главной компонентой и т.
  • (все предложения)

Понятия, связанные со словосочетанием «линейное преобразование»

В математике (общей алгебре) многочлен от нескольких переменных над полем называется гармоническим, если лапласиан этого многочлена равен нулю.

В математике, симметрической алгеброй S(V) (также обозначается Sym(V)) векторного пространства V над полем K называется свободная коммутативная ассоциативная K-алгебра с единицей, содержащая V.

Отправить комментарий

Дополнительно

Предложения со словосочетанием «линейное преобразование»:

Усиление или ослабление звукового сигнала в целом или изменение уровня отдельных его гармонических составляющих называют линейным преобразованием звука.

Линейные преобразования настолько очевидны, что их может выполнить любой лицеист-математик.

Вторая главная компонента имеет наибольшую дисперсию среди всех, оставшихся линейных преобразований, некоррелированных с первой главной компонентой и т.

Синонимы к словосочетанию «линейное преобразование»

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector