No Image

Является ли любой квадрат параллелограммом

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.

Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.

Квадрат. Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.

ABCD , рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями , а расстояние между ними – высотой ( BE, рис.32 ).

Вершина: вершина многоугольника — это точка, в которой две стороны соединяются друг с другом. Слово «вершина» более точно, чем общий термин «угол», потому что «угол» имеет много других применений на английском языке. Множество «вершин» — это «вершины» — треугольник имеет три вершины.

То, как мы идентифицируем многоугольник, обычно определяется количеством сторон, которое оно имеет, что совпадает с его числом углов. Классификация многоугольников по количеству сторон достаточно важна, что для многоугольников с небольшим числом сторон имеются специальные слова.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB= CD, AD= BC).

2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D).

3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон :

Есть имена для многоугольников со многими другими сторонами, но обычно для большего количества сторон, используется число сторон, за которыми следует «-угольник». Например, мы говорим о 7-го и 8-гогонах. Теперь давайте разобраться в разных типах четырехугольников.

Трапеция представляет собой четырехугольник, где одна пара противоположных сторон параллельна. Поэтому, если мы визуализируем, это будет выглядеть так, это будет трапеция, где эти две стороны параллельны, и эти две стороны не параллельны. Теперь, если эти две не параллельные стороны, если они равны по длине, то это называется равнобедренной трапецией. Поэтому, если мы визуализируем это будет выглядеть так, эти два параллельны, эти два параллельны, это параллелограмм. Таким образом, эти две стороны параллельны, эти две стороны параллельны, что означает, что пара здесь параллельна, поэтому это параллелограмм.

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D).

Таким образом, трапеция — это когда одна пара противоположных сторон параллельна, параллелограмм — это то, где обе пары параллельны. Теперь, чтобы сделать это интересным, позвольте мне показать, как мы можем преобразовать равнобедренную трапецию в параллелограмм с той же областью. Итак, возьмем равнобедренную трапецию, эти две стороны параллельны, эти два не параллельны. Бросьте перпендикуляр, эта точка соединяется с серединой этой стороны, затеняйте этот треугольник, просто переверните этот заштрихованный треугольник там, где вы получите параллелограмм с той же областью, потому что здесь нет никаких изменений?

3. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD, AB || CD) .

4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC , BO = OD ).

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые (почему ?). Такой параллелограмм называется прямоугольником (рис.33) .

Итак, как вы уже знаете, параллелограммы — это не что иное, как параллельные пары обеих сторон. Теперь давайте посмотрим на разные типы параллелограммов. В параллелограмме, поэтому давайте посмотрим на параллелограмм, подобный этому, где эти два параллельны, эти два параллельны. Ромб является параллелограммом, где все четыре стороны равны. Теперь, чтобы сделать это интересным, позвольте мне показать вам, как мы можем преобразовать параллелограмм в прямоугольник с той же областью. Итак, возьмите параллелограмм, как этот снимок, перпендикуляр, затеняйте этот треугольник, разрежьте треугольник и просто сдвиньте его так, как будто вы получите прямоугольник с той же областью, очень легкий справа и интересный-2; 45 просто заставьте вас думать лучше, просто чтобы сделать вы лучше свяжетесь, позвольте мне показать вам, как мы можем конвертировать, позвольте мне также показать вам, как мы можем преобразовать равнобедренную трапецию в прямоугольник с той же областью.

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (см. ):

Это тоже очень интересно. Таким образом, для этого давайте визуализировать равнобедренную трапецию, как это, теперь отбросим два перпендикуляра, проходящих через средние точки обеих параллельных сторон. Таким образом, вы получаете два треугольника здесь, тени треугольники поворачивают эти два треугольника, как это, там вы получаете идеальный прямоугольник с той же областью. Теперь мы посмотрим на квадраты, квадраты, только на простом языке, параллелограмм, который вы преобразуете в ромб, и прямоугольник вместе вы получите квадрат.

Ромб, где все четыре стороны равны и прямоугольны, где все четыре угла равны и равны 90 градусов. Если вы возьмете оба вместе, вы получите квадрат. В квадрате все четыре стороны будут равны, и все четыре угла будут равны и 90 градусов, а такой параллелограмм — квадрат. Потому что теперь все четыре стороны равны, и все четыре угла равны, поэтому мы получаем такой квадрат. Как мы преобразуем параллелограмм в специальный параллелограмм, который называется квадратом. Потому что квадрат также является, наконец, параллелограммом.

Читайте также:  Чем накрыть батарею чтобы не было жарко

AC 2 = AD 2 + DC 2 .

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом (рис .34) .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).

Подобно тому, как все прямоугольники являются параллелограммами, все ромбовые параллелограммы всех квадратов, очевидно, являются параллелограммами. Мы также знаем, что, когда две пары смежных сторон равны, то есть эти два равны, эти два равны, тогда мы называем это кайтом, теперь это не похоже на трапецию, потому что ни как трапеция, ни как параллелограмм, потому что в параллелограмме обе пары противоположных сторон должны быть параллельны. А в трапеции одна пара противоположных сторон должна быть параллельной.

В этом случае справедливы только смежные стороны? Эти два равны по длине, эти два равны по длине, так что это называется кайт. Итак, теперь мы знаем все типы четырехугольников, начиная от трапеции до воздушных змеев. Трапеция, где одна пара противоположных сторон параллельна, теперь, если мы смотрим на разные типы параллелограммов, параллелограммы — это то, где обе пары противоположных сторон параллельны там, если все стороны равны, мы получаем ромб, если все углы равны 90 градусам теперь мы получим прямоугольник, если он собран вместе, мы получим квадрат, где все четыре стороны равны, а все четыре угла равны 90, а воздушные змеи — никоим образом ни трапеции, ни спутники параллелограммов, где смежные стороны равны, и они выглядят так, используя диаграмму Венна, если вы хотите представить четырехугольники, это будет выглядеть теперь как трапеции, параллелограммы, некоторые из них будут ромбами, некоторые из них будут прямоугольниками, объединив их в пересечении, которое является ромбом, а прямоугольник — квадрат и воздушные змеи, мы должны представлять как круг снаружи, и диаграммы Венна на четырехугольниках будут выглядеть так, что это очень легко понять, если вы знаете диаграмму Венна, вы можете легко соединить как они связаны.

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами (рис .35). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные сто роны параллельны (рис.36).

Наиболее распространенными являются квадраты и прямоугольники, но есть и другие. Подобно треугольникам, они классифицируются по их углам и бокам. В этом разделе мы рассмотрим шесть общих четырехугольников, которые вы видите все время.

Все четырехсторонние фигуры с двумя наборами параллельных сторон и четырьмя углами 90 ° называются прямоугольниками. Вот два разных прямоугольника. . Теперь давайте посмотрим на все свойства прямоугольников.


Ромб имеет два набора параллельных сторон, и все стороны должны быть конгруэнтными. Вот свойства ромба.

Каждый параллелограмм с четырьмя конгруэнтными сторонами и четырьмя углами 90 ° является квадратом. Это свойства квадратов.

  • Трапецоиды имеют только один набор параллельных сторон.
  • Если две ноги конгруэнтны, то это называется равнобедренной трапецией.

Это свойства всех трапеций.

Здесь AD || BC . Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями (BM) есть высота .

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из предыдущего


Воздушные змеи — четырехугольники с двумя наборами конгруэнтных сторон. В отличие от параллелограмма, эти стороны смежны. Это свойства воздушных змеев.

Это может быть трудно отследить, что есть, поэтому здесь он прорисовывается. И, если вы действительно визуальный человек, вот диаграмма Венна.

Как вы можете видеть, все это четырехугольники, но прямоугольники и ромби также являются параллелограммами, а квадраты — также параллелограммами, прямоугольниками и ромби. Воздушные змеи и трапеции — одинокие острова, плавающие сами по себе. Нет ничего удивительного в том, что наиболее распространенный четырехугольник, квадрат, также является регулярным. Он имеет четыре конгруэнтные стороны и четыре конгруэнтных угла.

пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

В классе простых четырехугольников входят вогнутые четырехугольники и выпуклые четырехугольники. Вогнутый четырехугольник содержит рефлекторный угол, тогда как все углы в выпуклом четырехугольника меньше 180 °. Опять же, примеры на диаграмме выше иллюстрируют эти характеристики.

Читайте также:  Широкоформатные телевизоры 21 9

Помимо четырех сторон, четырехугольники также имеют четыре вершины и четыре внутренних угла. Одно из свойств квадрилатералей, которое мы можем сразу получить, — это общее число градусов в сумме внутренних углов. Напомним, что наше исследование треугольников показало, что каждый треугольник имеет 180 °. Мы можем использовать этот факт о треугольниках для определения суммы углов в четырехугольниках. Рассмотрим общий четырехугольник ниже; мы можем нарисовать диагональную линию между двумя несмежными вершинами, чтобы образовать два треугольника.

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Раз – параллелограмм, то:

  • как накрест лежащие
  • как накрест лежащие.

Значит, (по II признаку: и — общая.)

Ну вот, а раз, то и – всё! – доказали.

Таким образом, если мы суммируем все измерения внутренних углов в двух треугольниках, то мы знаем, сколько градусов находится в четырехугольниках. Разумеется, эта сумма составляет два раза 180 °, или всего 360 °. Этот результат имеет смысл, если вы уже знаете, что прямоугольник содержит четыре прямых угла!

Определенные типы четырехугольников имеют свойства, которые позволяют нам выводить выражения и другую информацию о них. Например, четырехугольник с одной или двумя парами параллельных противоположных сторон имеет особые характеристики, которые мы можем изучить дальше. Четырехугольник с одной парой параллельных противоположных сторон называется трапецией. Ниже показана схема общей трапеции.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

И теперь видим, что — по II признаку (угла и сторона «между» ними).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

Специальным типом трапеции является так называемая равнобедренная трапеция, которая имеет две непараллельные стороны равной длины. Давайте получим общую формулу для области, мы можем использовать то, что мы знаем о треугольниках, а также о площади прямоугольника. Сначала мы разделим трапецию на два треугольника и прямоугольник, как показано ниже, где пунктир линии перпендикулярны параллельным сторонам.

Теперь трапеция разделена на три фигуры, области которых мы знаем, как рассчитать. Пусть разделить средний член пополам, чтобы мы могли упростить выражение. Если четырехугольник имеет две пары параллельных противоположных сторон, то он называется параллелограммом. Параллельные стороны в параллелограмме также конгруэнтны по длине. Кроме того, поскольку противоположные стороны параллельны, противоположные углы также конгруэнтны. Ниже приведен пример параллелограмма с указанными конгруэнтными частями.

В значках это так:

Почему? Хорошо бы понять, почему – этого хватит. Но смотри:

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Значит, . Ух! Но и – внутренние односторонние при секущей!

Поэтому тот факт, что означает, что.

А если посмотришь с другой стороны, то и – внутренние односторонние при секущей! И поэтому.

Видишь, как здорово?!

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Свойства прямоугольника:

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 ()

А пункт 2) – очень важный . Итак, докажем, что

А значит, по двум катетам (и — общий).

Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Давай поймём, почему?

Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что – параллелограмм, и поэтому.

Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Читайте также:  Формат ячеек время в excel

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Почему? Да, потому же!

Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

А это почему? А посмотри,

Значит, и оба этих треугольника – равнобедренные.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно, почему? Квадрат — ромб – биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.

Главная » Планиметрия » Квадрат является параллелограммом. Н.Никитин Геометрия. Параллелограммы и трапеции

Ответ или решение 1

1) Это верно, так как у квадрата противоположные стороны параллельны.

2) Это не верно, так как не у любого ромба прямые углы.

3) Тоже не верно, так как не у всякого прямоугольника стороны равны.

4) Верно, так как и у того, и другого углы прямые.

5) Тоже верно, так как у квадрата все стороны равны.

6) Не верно, пример — равнобедренная трапеция.

7) Не верно, есть много 4 — угольников, в которых такие диагонали.

8) Верно, это частный случай — квадрат и ромб, и прямоугольник.

9) Не верно, если он квадрат, то он и ромб.

10) Верно, так как это признак ромба.

11) Тоже верно, так как у любого прямоугольника они обязательно равны.

12) Верное утверждение, так как следует, что стороны равны, как в квадрате.

Главная Шутки Форум
План занятий

Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.

Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.

Квадрат. Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.

Параллелограмм ( ABCD , рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой ( BE , рис.32 ).

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD , AD = BC ).

2. Противоположные углы параллелограмма равны ( 2. Противоположные углы попарно равны (

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD .

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):

AC 2 = AD 2 + DC 2 .

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом ( рис .34 ) .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC и т.д. ).

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис .35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные сто роны параллельны ( рис.36 ).

Здесь AD || BC . Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота . Отрезок EF , соединяющий средние точки E и F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им: EF || AD и EF || BC .

Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны (

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector