No Image

Является ли ромб прямоугольником

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Ромб (др.-греч. ῥόμβος , лат. rombus , в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны [1] .

Содержание

Этимология [ править | править код ]

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства [ править | править код ]

  1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.
  2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (ACBD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
  3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
  4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
  5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
  6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
  7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки [ править | править код ]

Параллелограмм A B C D <displaystyle ABCD> является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий [2] :

  1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, A B = B C = C D = A D <displaystyle AB=BC=CD=AD>).
  2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (ACBD).
  3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб [1] .

Квадрат, как частный случай ромба [ править | править код ]

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов [3] [4] [5] .

Площадь ромба [ править | править код ]

  • Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = A C ⋅ B D 2 <displaystyle S=<frac <2>>>

  • Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

S = A B ⋅ H A B <displaystyle S=ABcdot H_>

  • Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

S = A B 2 ⋅ sin ⁡ α <displaystyle S=AB^<2>cdot sin alpha >,

где α <displaystyle alpha > — угол между двумя смежными сторонами ромба.

  • Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол α <displaystyle alpha >:
Читайте также:  Что такое виндовс 7 максимальная

S = 4 r 2 sin ⁡ α <displaystyle S=<frac <4r^<2>><sin alpha >>>

Радиус вписанной окружности [ править | править код ]

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде: [6]

r = p ⋅ q 2 p 2 + q 2 . <displaystyle r=<frac <2<sqrt <2>+q^<2>>>>>.>

В геральдике [ править | править код ]

Червлёный ромб в серебряном поле

В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия [ править | править код ]

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.

Напомним основные свойства параллелограмма.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).

Рисунок 1. Прямоугольник

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются $<90>^0$

Рассмотрим два свойства прямоугольника.

Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.

Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем

Так как $angle B=angle A=<90>^0$, а $AB$ — общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $ riangle ABD= riangle ABC$. Следовательно

Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).

Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим

Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $ riangle DRC= riangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB=<
m >angle RBA$.

Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $ riangle DRA= riangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB=<
m >angle RBC$.

Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.

Так как сумма углов четырехугольника равняется $<360>^0$, то

Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.

Читайте также:  Экран айфона белый не включается

Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).

Рассмотрим свойство ромба.

Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.

Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).

Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,

Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ — медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Рисунок 5. Квадрат

Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Пример задачи

Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора

Ответ: $20sqrt<2>$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Разделы: Математика

Цели урока:

  • закрепить теоретический материал по теме “Прямоугольник. Ромб. Квадрат”;
  • совершенствовать навыки решения задач по теме;
  • сформировать положительную мотивацию к урокам математики.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Теоретическая самостоятельная работа

Заполнить таблицу, отметив знаки + (да), — (нет).

Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат
1. Противолежащие стороны параллельны и равны.
2. Все стороны равны.
3. Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180°
4. Все углы прямые.
5. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагонали равны.
7. Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
параллелограмм прямоугольник ромб квадрат
1. + + + +
2. + +
3. + + + +
4. + +
5. + + + +
6. + +
7. + +

2. Проверочный тест

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник — …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

1. Любой ромб является:

а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором …

Читайте также:  Смартфон флай как включить

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

1 вариант: 1 – в); 2 – г); 3 – б).

2 вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – а).

III. Проверка усвоения теоретического материала.

Два ученика работают у доски. .Первый доказывает один из признаков параллелограмма, второй- диагоналей прямоугольника. В это время остальные учащиеся устно решают задачи по готовым чертежам.

После решения задач заслушиваются ответы учащихся у доски.

Решение задач у доски с краткой записью.

1) Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник АОВ – прямоугольный (рис.1). Пусть в D АОВ АВО = х, тогда ВАО = х + 30° , значит АВО + ВАО = х + х + 30 ° = 90° , и х = 30° .

АВО = 30° , ВАО = 60° , а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ВАD = 120° , АВС = 60° .

Противолежащие углы в ромбе равны, тогда АDС = АВС = 60° , ВСD = BAD = 120° .

Ответ: 60 ° ,120° , 60° , 120° .

2) Угол между диагоналями прямоугольника равен 80° . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 = АС/2 =АО и D АОВ – равнобедренный (рис.2.), тогда ОАВ = ОВА = 50° . В прямоугольнике все углы прямые, тогда ОАD = ВАD — ОАВ = 90 ° – 50° = 40° .

3) В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите АNВ, если АМС = 120° .

В ромбе (рис.3.) противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е. ВАС = ВАD : 2 =ВСD : 2 = ВСА. Т.к. АМ – биссектриса ВАС, а ВАС = ВСА, то МАС = МСА : 2.

В треугольнике АМС МАС + МСА = 180 ° — АМС = 180 ° -120° = 60° . МАС = МСА : 2, тогда МАС = 20° , ВАС = 40° .

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, АВО = 90° — ВАО = 50° . Рис.3.

В треугольнике АВN BAN = МАС = 20° , ABN = 50° , тогда

ANB = 180° – (20° + 50° ) = 110° .

Ответ: ANB = 110° .

IV. Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой.

1) В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, А = 80 ° . Найдите углы треугольника ВОС.

а) Рис.4. А = С = 80° ; СО – биссектриса С, тогдаОСВ = 40° ; . D = B = (360° -( А + С ))/2=100° ;

б) D СОВ – прямоугольный, ВОС = 90° , ОСВ =40° , ОВС = 100° /2=50°

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector