No Image

Энергия ядерной реакции формула

2 просмотров
22 января 2020

Из этого равенства следует, что убыль суммарной энергии покоя (EE’) равна приращению суммарной кинетической энергии (K’K) и наоборот. Эти величины и называют энергией реакции Q:

Q = E − E’ = K’ − K.

Реакции с Q > 0 называют экзоэнергетическими (с выделением энергии, кинетической), реакции же с Q эндоэнергетическими .

Часто ядерную реакцию с учетом Q записывают так:

A(a,b)B + Q.

Для расчетов формулу (4.17) удобнее представить в другом виде: через массы или, еще лучше, через дефекты масс Δ нуклидов (если пользоваться таблицами). Тогда:

(ma + mA) − (mb + mB);
a + ΔA) − (Δb + ΔB).

Подавляющее большинство экспериментальных исследований выполняется в лабораторной системе отсчета (Л-системе), где мишень покоится. В теоретических же расчетах удобнее система центра масс или система центра инерции (Ц-система), в которой суммарный импульс сталкивающихся (и образующихся) частиц равен нулю. Результаты, полученные в Ц-системе, при необходимости можно пересчитать в Л-систему.

Отметим попутно, что в экспериментальных исследованиях под энергией частицы всегда понимают ее кинетическую энергию K; для безмассовых частиц K совпадает с энергией частицы. Этому будем следовать и мы в дальнейшем (для краткости).

Приведем без вывода основные соотношения, определяющие для системы из двух частиц с массами m и M импульс каждой частицы и суммарную кинетическую энергию K обеих частиц в Ц-системе:

, , .
μ – приведенная масса системы, υотн – относительная скорость частиц | vm − vM |.

Заметим, что эта скорость одинакова в Л— и Ц-системах.

Чаще всего мы будем иметь дело с ядерной реакцией:

M(m,m’)M’ + Q,
m – масса налетающей частицы, M – масса покоящегося ядра мишени.

В этом случае связь между и энергией Km налетающей частицы определяется согласно (4.20) как:

.

Из условия следует, что:

,
ν – приведенная масса продуктов реакции.

Отсюда:

.

Это значит, что зная энергию Km налетающей частицы и энергию реакции, мы можем определить импульс каждой частицы, возникшей после реакции, а также их суммарную кинетическую энергию ‘. И наоборот, зная и Q, можно определить Km.

Из механики известно, что кинетическая энергия K системы частиц может быть представлена как:

,
– кинетическая энергия этой системы частиц в Ц-системе, KC – кинетическая энергия, связанная с движением системы как целого, т.е. с движением центра масс С-системы.

Энергия KC сохраняется и в реакции не участвует, поэтому формулу (4.17) мы можем представить в виде:

.

Изобразим для наглядности схему ядерной реакции в энергетической шкале в Ц-системе для двух случаев Q > 0 и Q а обратная реакция

α + α → p + 7Li − 17.3 МэВ.

Во-вторых, экзоэнергетическая реакция может идти при сколь угодно малой энергии сталкивающихся частиц (если нет каких-либо запретов на ту или иную реакцию). Эндоэнергетическая же реакция может идти только тогда, когда суммарная энергия сталкивающихся частиц (в Ц-системе) превосходит некоторое минимальное значение, которое называют порогом реакции.

Существенно отметить, что порог реакции, т.е. минимальная энергия Kпор налетающей частицы измеряется всегда в Л-системе, где ядра мишени покоятся.

Найдем выражение для Kпор налетающей частицы. Этот вопрос наиболее просто решается в Ц-системе, где ясно (см. рисунок 4.5), что суммарная кинетическая энергия частиц до столкновения во всяком случае должна быть не меньше |Q|, т.е. ≥ |Q|.

Отсюда следует, что существует минимальное значение мин = |Q|, при котором кинетическая энергия системы целиком пойдет на создание покоящихся в Ц-системе частиц m’ и M’.

Теперь перейдем в Л-систему. Так как в Ц-системе при мин, образовавшиеся частицы m’ и M’ покоятся, то это значит, что в Л-системе при соответствующем значении пороговой энергии Kпор налетающей частицы обе частицы, m’ и M’, после образования будут двигаться как единое целое, причем с суммарным импульсом, равным импульсу p налетающей частицы, и кинетической энергией . Поэтому:

Читайте также:  Что такое амплитуда фаза циклическая частота колебаний
,

а т.к. Kпор = p 2 /2m, то, исключив p 2 из этих двух уравнений, получим:

.

Это и есть пороговая кинетическая энергия налетающей частицы m, начиная с которой данная эндоэнергетическая реакция становится энергетически возможной.

В ядерной физике обычно можно ограничиться нерелятивистской формулой (4.25). Но в процессах с участием релятивистских частиц следует исходить из инвариантности выражения:

E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 2 = inv,
E – полная энергия системы.

Например, в случае расщепления атомного ядра массы m под действием γ-кванта при пороговом значении его энергии ε пор мы имеем:

por + mc 2 ) 2 − εpor = (m1 + m2 + . ) 2 c 4 .

Здесь левая часть равенства записана в Л-системе, а правая – в Ц-системе, где образовавшиеся частицы покоятся (при εпор). Из этого равенства получим:

.

Из последних двух скобок в числителе первая представляет собой энергию эндоэнергетической реакции |Q|, а вторая равна |Q| + 2mc 2 . В результате (4.27) примет вид:

.

Это и есть выражение для пороговой энергии γ-кванта в случае эндоэнергетической реакции, энергия Q которой известна.

Приведем в заключение энергетическую схему ядерной реакции, проходящей через составное ядро M*:

m + M → M* → m’ + M’ + Q.

Эта схема показана на рисунке 4.6. Здесь m + M и m’ + M’ – суммы масс частиц до и после реакции, и ‘ – суммарные энергии частиц в Ц-системе, E* – энергия возбуждения составного ядра, Q* – энергия реакции. На рисунке показаны также уровни составного ядра, они обозначены цифрами 1, 2, 3, .

Варьируя энергию налетающей частицы, т.е. в Ц-системе, можно обнаружить, что вероятность распада составного ядра ω (выход Y ядерной реакции) вблизи каждого уровня плавно меняется, проходя через максимум (см. рисунок 4.1).

В результате ядерных реакций происходит выделение энергии в виде излучения. Для подсчёта энергии, выделяющейся в конкретной реакции, вводят понятие дефекта масс и логику уравнения Эйнштейна. Эйнштейн показал, что энергия и масса связаны друг с другом соотношением:

  • где
  • — энергия,
  • — масса тела,
  • м/с — скорость света (константа).

Показано, что в результате любой ядерной реакции суммарная масса элементов до реакции (мишеней) не равна суммарной массе элементов после реакции (продуктов). Разница между этими массами называется дефектом масс:

  • где
  • — дефект масс,
  • — сумма масс элементов до реакции,
  • — сумма масс элементов после реакции.

В случае, если 0″ title=»displaystyle Delta m>0″ > — ядерная реакция идёт самопроизвольно (энергия выделяется), — ядерная реакция не самопроизвольна, т.е. для неё нужно затратить энергию.

Тогда, чтобы посчитать энергию реакции, необходимо подставить (2) в (1):

  • где
  • — энергия ядерной реакции (поглощённая/выделившаяся),
  • — модуль дефекта массы,
  • м/с — скорость света (константа).

Соотношение (3) позволяет посчитать энергию ядерной реакции, зная массы мишеней и продуктов реакции.

Частным видом таких задач является поиск энергии ядра и удельной энергии ядра.

Представим себе ситуацию, в которой ядро разделяется на составляющие (до протонов и нейтроном), в этом случае дефект масс можно найти как:

  • где
  • — дефект масс,
  • , — количество протонов и нейтроном в ядре соответственно,
  • , — масса протона и масса нейтрона соответственно,
  • — масса ядра.

Тогда, исходя из (3), мы получим исходную энергию, которую мы назовём энергией ядра.

Удельная энергия ядра — это энергия, приходящаяся на один нуклон:

  • где
  • — удельная энергия связи,
  • — энергия ядра,
  • , — количество протонов и нейтроном в ядре соответственно.
Читайте также:  Топ приложений для музыки на айфон

Вывод: вопросы данной части ядерной физики связаны с поиском дефекта масс (2) (обычно все массы даны) и использованием соотношений (3) — (5) для поиска соответствующих энергий.

Всё прекрасное так же трудно, как и редко.
Спиноза

Расчёт энерговыделения при ядерных реакциях традиционно труден для учеников средней школы, однако происходящие внутри атомного ядра процессы всегда вызывают у них живой интерес. В школьных учебниках на примерах показано, как определить энергию связи ядра и энергетический выход ядерной реакции, однако совсем не обсуждаются условия протекания ядерной реакции и другие способы расчёта энерговыделения. Попробуем этот недочёт устранить, сгруппировав решаемые на уроке задачи так, чтобы они образовали систему задач, которая будет развивать ученика. Напомним, что ядерные реакции – превращения атомных ядер при взаимодействии с частицами, в том числе с фотонами или друг с другом.

Для протекания ядерной реакции необходимо сближение частиц до расстояний порядка 10 –13 см. Что конкретно произойдёт с ядром, зависит от энергии налетающей частицы и энергии связи нуклонов: частица может быть захвачена ядром атома и вызвать ядерную реакцию, может расщепить ядро на фрагменты, может отлететь от ядра при упругом ударе. Ядерные реакции подчиняются законам сохранения электрического заряда, энергии, импульса.

Примеры ядерных реакций (запись комментируют учащиеся):

Ядерные реакции могут протекать как с выделением, так и с поглощением энергии. Причём эта энергия по порядку величины в 10 6 раз больше, чем при химической реакции! Произведём расчёт энерговыделения на примере ядерной реакции:

(такие ядерные реакции называются реакциями синтеза):

2,01410 а.е.м. + 3,01605 а.е.м. – (4,00260 + 1,00866) а.е.м. = 0,01889 а.е.м. = 0,013136 · 10 –27 кг.

E = Δmc 2 = 0,28221 · 10 –11 Дж ≈ 17,6 МэВ.

Ядерные реакции деления покажем на примере одной из возможных схем деления изотопа урана :

Эта реакция идёт при взрыве атомной бомбы, а также в недрах ядерного реактора. Расчёт энерговыделения производить не будем, но на будущее будем знать, что в среднем на одну реакцию деления изотопа урана выделяется около 200 МэВ энергии.

Реакцию распада удобно показать на примере реакции Эта реакция интересна тем, что попытки создать ядро путём двойного α-цикла природа «предпринимала» во время Большого Взрыва, предпринимает и сейчас – в недрах звёзд. Однако это ядро неустойчиво и практически сразу распадается на две α-частицы. Благодаря этому Вселенная в основном состоит из водорода и гелия, а концентрация более тяжёлых элементов в ней незначительна.

Сокращённую запись уравнения ядерной реакции покажем на примере реакции которую записывают в виде

«Установленное Эйнштейном соотношение является основанием для дальнейших, значительно более важных выводов. Радиоактивная отслойка является с этой точки зрения одной из возможностей получения из материи огромных запасов энергии, техническое использование таких запасов энергии в принципе не представляется невыполнимым и совсем недавно Резерфорд получил, по-видимому, подобные количества энергии, – правда, в микроскопическом масштабе, когда ему удалось разложить азот путём радиоактивного расщепления. Но не нужно предаваться иллюзии, будто техническая добыча указанной здесь энергии является вопросом непосредственного будущего и что этим будет достигнуто обесценивание угля; с другой стороны, нельзя возражать и против того, что тут раскрывается одна из серьёзнейших технических проблем».

Теперь в процессе решения задач ученикам можно продемонстрировать и другие методы расчёта энерговыделения при ядерной реакции.

«Прибавь ещё один оттенок к радуге. »

Задача 1. Одной из наиболее известных реакций термоядерного синтеза является реакция слияния дейтерия и трития: Какая энергия выделяется в этой реакции? Энергия связи дейтерия 2,228 МэВ, трития 8,483 МэВ, гелия 28,294 МэВ.

Читайте также:  Электрические вспышки в голове

Решение. В данной реакции происходит разделение ядер дейтерия и трития на составляющие их частицы, на что затрачивается энергия связи, после чего образуется ядро гелия с выделением энергии. Энергетический выход реакции: Е = 28,294 МэВ – (2,228 МэВ + 8,483 МэВ) = 17,583 МэВ. Энергию связи любого ядра ученики уже могут рассчитывать, поэтому для них не представляет большого труда рассчитать энергетический выход любой ядерной реакции таким способом.

Задача 2. Определите энергию реакции если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах равны соответственно 5,60 и 7,06 МэВ.

Решение. Под действием протона ядро лития разрушается, на что затрачивается энергия связи, но при этом возникают два ядра гелия и выделяется энергия Е = 2(4 ∙ 7,06 МэВ/нуклон) – 7 ∙ 5,60 МэВ/нуклон = 17,28 МэВ.

Задача 3. В ядерной реакции протоны налетают на покоящиеся ядра лития. Если энергия налетающих протонов Е = 1,92 МэВ, то нейтроны, образующиеся в реакции, покоятся. Оцените, какая энергия поглощается в данной реакции. При какой минимальной энергии налетающих протонов эта реакция может идти?

Решение. Это первый пример ядерной реакции, в которой энергия поглощается (Еп). В лабораторной системе отсчёта имеем движущийся со скоростью υ протон и покоящееся ядро лития (рис. а). После ядерной реакции нейтрон неподвижен, а ядро бериллия приобретает некоторую скорость V (рис. б).

По закону сохранения импульса, mpυ = mBeV. Зная массовое число каждой частицы, находим V = (1/7)υ. В лабораторной системе отсчёта откуда Еп=6/7.

Теперь выясним, при какой минимальной энергии налетающих протонов Е′ эта реакция вообще может идти. В системе отсчёта «центр масс системы протон–ядро лития», которая движется вправо с некоторой скоростью υ′, их импульс mp(υυ′) – mLiυ′ = 0, откуда υ′ = 1/8 υ. Если протон обладает минимальной энергией Е′, то в данной системе отсчёта вся она поглощается и возникшие в реакции частицы не разлетаются: Учитывая, что mLi = 7mp , получим или откуда Е′= 48/49Е.

Задача 4. Если направить поток протонов на кусок льда из тяжёлой воды D2O, то при минимальной кинетической энергии протонов Е = 1,4 МэВ происходит ядерная реакция с образованием ядер Какую минимальную энергию надо сообщить ядрам дейтерия, чтобы при их попадании на кусок льда из обычной воды произошла та же ядерная реакция?

Решение. Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для данной реакции V:

где Еп – энергия, поглощаемая в данной реакции.

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для случая, когда ядра дейтерия попадают на кусок льда из обычной воды:

Задача 5. В реакции налетающая α-частица имеет кинетическую энергию 7,68 МэВ. Возможна ли такая реакция? Если да, то чему равна полная кинетическая энергия продуктов реакции?

Решение. Найдём дефект массы: 4,00260 + 14,00307 – (16,99913 + 1,00782) = –0,0013 а.е.м.

Эта реакция идёт с поглощением энергии! Еп = 1,2 МэВ.

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для этой реакции:

Энергии налетающей частицы вполне достаточно для того, чтобы данная реакция протекала! Полная кинетическая энергия продуктов распада ЕЕп = 6,14 МэВ.

  1. Джанколи Д. Физика. – М.: Мир, 1989.
  2. Савченко О.Я. Задачи по физике. – Новосибирск: НГУ, 1999.
Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector