No Image

Эскиз графика функции это

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Занятие 2

Для наглядного описания функции часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Например: где функция пересекает ось ОХ, ось ОУ; на каких интервалах она возрастает и на каких убывает; есть ли у неё локальные экстремумы; каково направление выпуклости графика; имеются ли разрывы графика; какова асимптотика и так далее. Для точных расчетов графики функций используются редко. Однако бывает очень полезно изучить график перед проведением точных расчётов, так как из графического поведения функции видно какие алгоритмы и вблизи каких точек графика применять наиболее целесообразно. Для построения графика дифференцируемой функции используют алгоритмы дифференциального исчисления. Рекомендуемый порядок исследования функции и построения её графика приведён ниже.

1)Указать область определения функции .

2) Указать нули функции, если это возможно.

3)Отметить конкретные особенности: чётность, периодичность.

4)Выяснить асимптотическое поведение функции: с указанием уравнений вертикальных и наклонных асимптот.

5)Найти промежутки монотонности функции и указать её локальные экстремумы.

6)Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба графика.

7)Отметить характерные точки графика, например, точки пересечения графика функции с осью ОУ, если они есть и их возможно вычислить. Очень полезно вычислить две, три конкретные точки графика функции.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8960 — | 7624 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

1. Методика построения эскизов графиков функций

Наша цель – построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:

Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.

Методика построения эскиза такова:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.

Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:

На интервале функция имеет знак плюс

Читайте также:  Что означает команда ping

На интервале функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.

Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.

1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции

Рис. 2. График в окрестностях корней

Поскольку в точке 2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции

Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Когда

Рис. 4. Эскиз графика функции

Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

2. Решение примера №1

Пример 1 – построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

ОДЗ:

Корень:

Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдем производную функции:

Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.

Читайте также:  Создание картинки для ютуба

Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1

3. Решение примера №2

Пример 2 – построить эскиз графика функции:

Строим эскиз графика функции без использования производной.

Сначала исследуем заданную функцию:

ОДЗ:

Корень:

Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.

Отметим, что заданная функция нечетная.

Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.

Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.

Найдем производную функции:

Выделяем интервалы знакопостоянства производной:

Таким образом, функция меняется в пределах

Рис. 7. Эскиз графика функции к примеру 2

Итак, мы рассмотрели построение графика дробно-квадратичной функции, далее будем рассматривать график дробно-линейной функции.

Список рекомендованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

2. Егэ по математике (Источник).

3. Институт менеджмента, маркетинга и финансов (Источник).

Рекомендованное домашнее задание:

1. Построить эскизы графиков функций:

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Читайте также:  Создать mts личный кабинет

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0" />

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Функция y = x имеет следующий график:

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector